a = ImplicitRegion[x == 0 && y == 0 && z == 0, {x, y, z}];
b = ImplicitRegion[x^2 + y^2 + z^2 <= 2, {x, y, z}];
A = RegionDifference[b, a];
Integrate[1/(x^2 + y^2 + z^2), {x, y, z} \[Element] A]

谢谢大佬

用Integrate算瑕积分的时候不用挖瑕点的……当然挖了按理来说也不会出问题。你这问题的本质可能和下面这帖类似：
tieba.baidu.com/p/8035377581
把区域指定从ImplicitRegion换成Ball就能算了：
挖瑕点也可以，但是计算速度会显著变慢：
ImplicitRegion不挖瑕点也算不了：
顺便，改用Boole语法也不行，从结果还可以看出来Boole语法是怎么失败的：
最后，ImplicitRegion搭配IntegrateChangeVariables倒是可以出正确结果的：