笔记暂存，仅当作剪贴板使用。

#### 虚功与达朗贝尔原理
约束造成 $3N$ 个位置矢量坐标不独立，并引入约束力。
为此，考虑一个处于力学平衡的，有约束的力学体系。考虑某个时刻 $t$ 系统坐标的一个微扰导致的虚位移 $\delta\mathbb x_i$，记作用于质点 $i$ 上的力为 $\mathbb F_i$ 由于所有质点处于力学平衡，有虚功：
$$\sum_i\mathbb F_i\cdot\delta\mathbb x_i=0$$

$\mathbb F$ $\mathbf F$

#### 虚功与达朗贝尔原理
约束造成 $3N$ 个位置矢量坐标不独立，并引入约束力。
为此，考虑一个处于力学平衡的，有约束的力学体系。考虑某个时刻 $t$ 系统坐标的一个微扰导致的虚位移 $\delta\vec x_i$，记作用于质点 $i$ 上的力为 $\vec F_i$ 由于所有质点处于力学平衡，有虚功：
$$\sum_i\vec F_i\cdot\delta\vec x_i=0$$

将作用于粒子上的力分为两个部分：$\vec F_i=\vec F_i^a+\vec F_i^C$，其中 $F_i^a$ 是主动力，即除去约束后的力，$\vec F_i^C$ 为约束力，完全由约束产生，于是有：
$$\sum_i\vec F_i^a\cdot\delta\vec x_i+\sum_i\vec F_i^C\cdot\delta\vec x_i=0$$
现在我们假设约束永远满足：
$$\sum_i\vec F_i^C\cdot\delta\vec x_i=0$$

于是我们可以得到：
$$\sum_i\vec F_i^a\cdot\delta\vec x_i=0$$
是的，这看起来像是一句废话，但是由于所有虚位移 $\delta\vec x_i$ 不再是独立的，我们不能得出所有主动力都为 $\vec 0$；但是有了主动力与虚位移的关系，就可以进一步推广。
考虑处于非平衡状态的力学系统，我们将运动方程 $\vec F_i=0$ 替换为牛顿第二定律 $\vec F_i-\dot{\vec p}_i=0$，于是xu gong yuan li虚功yun li原理推广为：
**达朗贝尔原理**：
$$\sum_i(\vec F_i^a-\dot{\vec p}_i)\cdot\delta\vec x_i=0$$

在学习力学的时候，我们无可避免地遇到一个问题：什么是力？力不是一个基础的概念，能量才是，力是粒子间相互作用的能量随空间位置变化的激烈程度。

由此我们可以看出，对于粒子，力才是有意义的，对于场，我们可以得到其能量与能量交换，但是由于位移的概念消失了，力是没有意义的。
那么，什么是能量呢？如果我们把能量定义为做功的本领大小，就不免要定义功，始终绕不开力和位移。为了避免循环定义，不妨将能量定为第一性的本质属性，即它是公理而不需要定义。

既然力是粒子相互作用能量随位移的变化率，我们不妨定义这一部分能量为势能 $\mathrm dV(\vec r)$ ，于是我们得到这部分力的表述：
$$\vec F\cdot\mathrm d\vec x=-\mathrm dV$$
> 这里应该是表述的负梯度。符号规定是为了与原本牛顿力学的符号规定相匹配，但是用全微分而不是 $\nabla$ 算子的表述多少有些让人不舒服。

势能的定义导致其常数项是不重要的。事实上，在非相对论力学下，势能的绝对值本身就无法测量，因此其定义带一个任意常数是可以接受的。
> 这是由于能量相关的时间项是伽利略不变的缘故。在洛伦兹变换下，时间甚至不是协变的。^[这里有待进一步笔记，需要手算一次。]

考察熟悉的动量定义：
$$\vec p=m\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}$$

考察牛顿第二定律^[此处引入牛顿第二定律将导致后续推出的哈密顿正则方程天生就与牛顿体系相容。]
$$\mathrm d\vec p=\vec F\mathrm dt$$