sol = NDSolve[{p''[x] + p'[x]/x == Sinh[p[x]]/0.1^2,
q''[x] + q'[x]/x == Sinh[q[x]]/0.1^2 - 1/(1^2*0.1^2),
p'[0] == 0, p[-0.9] == q[-0.9], q'[-1] == 0, p'[-0.9] == q'[-0.9]},
{p[x], q[x]},
{x, -1, 0}]

……你在3个位置（两端点，外加中间一点）给了限制条件，并不寻常。NDSolve居然似乎正确地解析了你这个输入，这点挺神奇的。
你是不是在尝试“在不同区域解不同的方程”？我好像还是第一次遇到人在解常微分方程的时候试图这么干。如果是的话，你这个问题比较一般的书写方法是用分段函数：
(*潜在方法1，使用Shooting方法，同样导致ndsz警告并返回输入：*)
NDSolveValue[{q''[x] + q'[x]/x ==
Sinh[q[x]]/0.1^2 - Piecewise[{{1/(1^2 0.1^2), x < -0.9}}], q'[-1] == 0,
q'[0] == 0}, q, {x, -1, 0}]
(*潜在方法2，使用有限元法，在输出警告后返回了一个解，但是检查后会发现左边界没被满足：*)
NDSolveValue[{q''[x] + q'[x]/x ==
Sinh[q[x]]/0.1^2 - Piecewise[{{1/(1^2 0.1^2), x < -0.9}}]}, q, {x, -1, 0},
Method -> FiniteElement]
(* 这个方法无需设置q'[-1] == 0, q'[0] == 0，因为有限元法的默认边界是为0的NeumannValue *)
从以上计算结果来看，问题本身可能就不对，我建议你再好好检查下背后的模型。

谢谢大佬