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今天做了一道题
是二元函数对坐标的线积分与路径无关的判断
我算了个偏Q/偏x=偏P/偏y就选正确了
结果是错的，因为他有个极点，围绕这个点的正向线积分都是2
于是我想到了之前学复变函数与积分变换时候学到的留数定理
他们的相似之处是显而易见的。
复变函数在极点外都是连续可导的，符合偏Q/偏x=偏P/偏y的二元函数在坐标平面上也是连续可导的
复变函数的积分等于极点处的留数之和，上述有极点的二元函数的积分也等于在极点处的积分
所以如何利用留数定理来解决二元函数的积分问题呢？

你的观察是对的。这个判据只是用在没有洞的区域，或者说单连通。当然没有洞是很不精确的说法，比如在三维空间挖去一个点这个判据还是对的，挖去一个球就不行了。fanvy一点说，你已经发现了上同调类，对某些特殊形式积分得到非零整数反应了空间的拓扑不是简单的。这种现象和维数没关系，并不局限在复平面。