今天晚上我弟弟发了封email给我,帮他做几道题,我想了很久都没头绪,就是下面这几道,麻烦你了,thanks!1,坐标平面上任意给定13个整点,则必有一个以它们中的三个点为顶点的三角形,重心也为整点(整点就是坐标是整数的点)2,证明任意整数N的某一倍数仅由数字0,7组成,比如13的539倍为70073,平面上有6点,任何三点都是一个不等边三角形的顶点,求证有一个三角形的最短边是另一个三角形的最长边(这道题很早以前做过的,现在也忘了做法了)

翻老帖看到这几道题,想半天都不会做=.=

第一题，先求三角形中点坐标。如果三个点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，则中点坐标为((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)。原题实际上是证明13个点中至少有三个点,横坚坐标的和都能被3整除，现在来证明此结论。一个整数被3除后余数有3种，0,1,2。（-1可认为除3余2，其余负数类推）由抽屉原理知，13个数中至少有5个数被3除有相同的余数。也就是说13个点中至少有5个点横坐标被3除有相同的余数。显然这5个点任意3点的横坐标之和都可被3整除，而5个纵坐标中只要可找出3个相加可以被3整除原结论即成立。现在证明任意5个整数中一定有三个数相加可被3整除。如果5个数中有3个除3后余数相同，则此3个数符合条件，而如果除3余数相同的数最多两个，由抽屉原理又可知5个数中被3除后余0,1,2的数至少各有一个，此3个数之和除3的余数为0+1+2=3即能被3整除。至此原题得证。别外，原题稍有不严密，13个点应每三个点都不在一条直线上。其他的题正思考中。

第二题简单，对于任意数n， 取n+1个数,那么其中一定有两个除以n的余数相同，现在取n+1个数为7,77,777, ...., 77....7。那么其中任意两个数的差都是只由0和7组成的