多重积分中想更换积分变元，要通过雅可比行列式做变量代换，二维、三维积分的情况下，雅可比行列式理解成平行四边形的面积&平行六面体的体积，我想知道在4,5,6维......这些更高维情况下该如何证明雅可比行列式是对的？以4维情况为例，要如何证明： dy1 dy2 dy3 dy4 = |J| dx1 dx2 dx3 dx4，其中J是jacobian determinant雅可比行列式。

陈天权数学分析讲义上有

麻烦得很，参考analysis on manifolds，里边有一章留给这个定理，zorich上也有，反正穷极复杂。这玩意在gauss跟euler的时代其实只有二维和三维的形式，更高维的形式是cartan在一系列论文中逐渐证明的