为什么不对啊，这样证明有问题吗

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来个人救救孩子吧

这是一个逻辑上的问题。先别看这题，回到线性无关最初的定义，如果α1，α2，α3线性无关，那么k1α1+k2α2+k3α3=0必有k1=k2=k3=0。注意，这里k3是跟k1,k2无关的，它是可以自由取值的，不会受到k1和k2的限制。也就是说，在确保每个系数可以任意取的情况下，仅当它们全部取0时k1α1+k2α2+k3α3才是0，这才叫线性无关
而你写的并不是这样，β1α1+β2α2+(β1k+β2L)α3=0只有β1=β2=0时等式才成立，这时α3的系数β1k+β2L已经被固定成0了，它没有自由取值的机会，是被"逼着"等于0的，那么就不是真正的线性无关，因为你没法保证它在“不被逼”的情况下非要取0不可。举个简单的例子你就明白了。比如α3是0向量，α1跟α2线性无关。显然对于任意k,L原题的α1+kα3和α2+Lα3线性无关。包含0向量的向量组线性相关，所以α1，α2，α3线性相关。你现在把β1=β2=0代入β1α1+β2α2+(β1k+β2L)α3=0，就得到0α1+0α2+0α3=0。现在就很明显了，α3是0向量，它前面的系数本来可以任意取，是你的β1k+β2L"逼着"它取0才得到0α1+0α2+0α3=0,因此得到的线性无关的结论自然是不成立的