Integrate[1/(x^2 \[Sqrt](x^6 - 1)), x]
出来结果是
-((Sqrt[1 - x^6] Hypergeometric2F1[-(1/6), 1/2, 5/6, x^6])/(
x Sqrt[-1 + x^6]))
这前面系数为什么出了个根号-1？

估计是BUG。Rubi则能正确给出实函数。
要剖析这类BUG通常需要不少功夫，甚至可以说有能力做这个事的人并不多。建议向WRI报告。

Sqrt[-1 + x^6]你怎么去保证是实数？

式子里有虚数算出来的也不一定是虚数呀

……那个虚数是个常数项啊，考虑到这个积分在-1到1是个复数，不定积分的通解里含复数并没有什么奇怪的。
“可我就是不喜欢这个虚数，怎么通过化简把它去掉？”很遗憾，这个我也不知道。顺便，在Mathematica里做此类变换历来都是赔本的买卖。非要得到实数解，那就用2楼提及的Rubi吧。

……你刚好具备相关知识当然是另一回事了，顺便Mathematica做不好涉及特殊函数的代数变换的情况并不很少见，有兴趣可以沿Stackexchange的[special-functions]查查看。
但是啊——
beta函数是个定积分，你是准备从哪积到哪？我就当你是要从 x0 积到 x1（1<x0<x1）好了，按照beta函数的定义，可以凑出正确答案是
expr = I/6 (Beta[x0^6, x1^6, -1/6, 1/2]);
这不还是个用复数表示的实数吗？是有别的恒等关系可以把那个 I 换掉吗？