在复习定积分的时候有一条定理：若f(x)在[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则定积分存在（∫ab f(x)dx)。
但在变限积分的性质中，有一条性质为：函数f(x)在[a，b]上可积，则函数F(x)=∫ax f(x)dx在[a，b]上连续。
我理解的变限积分为定积分的特殊形式，只是一个上（下）限不固定而已，本质上应该是定积分；可是这里为什么有限个间断点的时候函数可积；但反过来可积函数原函数怎么就连续了，不存在间断点了呢？
这两条定理性质该怎么理解？求解答。

可🐔不一定连续，如果有无穷个间断点不是可以看成无穷型间断了吗，对比图像来看

理解有问题，变上限积分是一种构造新函数的方法，其本质是函数，而定积分是一个极限，几何意义上是求面积，也可以看成变上限积分的函数值。前面这个是勒贝格定理的简单版本，原版是有界函数，殆连续则riemann可积，这个是通过达布上下积分相等可以证明，换言之连续振幅足够小，不连续的点是零容的

而变上限积分在原函数可积时连续可以通过定义证明，F(x+\delta x)-F(x),在f可积时，易证连续，例如可积必有界，积分第一中值定理就可以证明

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楼上的解释有点把简单的问题复杂化了，完全没有必要引入实变函数中的概念。变限积分也是可以当成面积去理解的，只不过定积分是一个确定的面积值，而变限积分则是关于面积的函数。比如定积分∫a到b f(x)dx，几何上可以理解为区间[a,b]上f(x)的确定的面积值。而变限积分∫a到x f(x)dx，集合上可以看成是区间[a,x]上f(x)的面积。只不过由于x是变化的，所以这个面积值随着区间的右端点x的变化而变化。对于每一个固定的x，面积值都是确定的，所以是关于x的函数。
至于楼主一开始的问题，第一个定理定积分存在它的反面是定积分不存在，说白了就是函数没法在给定的区间上算曲边梯形面积(比如函数值出现了∞、有无穷个间断点)。而第二个定理，它一开始的条件就是f(x)可积。所以第二个定理，它一开始的条件就保证了不管你取哪个x，这个曲边梯形的面积都是可以算的。在这个基础上，他告诉你当你的x在区间[a,x]上变化时，这个面积的函数值也是连续变化的。就算f(x)有个跳跃间断点，他这个面积的函数照样还是连续变化的。它不是跟第一个定理平起平坐的关系，而是在第一个定理的基础之上得到的一个新的结论。f(x)可以间断仍然可积，但它的变上限积分函数则是连续的，这也并不矛盾啊