clear(**)
{a, b} = {2000, 1}
Table[NSolve[
2 - 1/(1/2 + ArcTan[(-a + (x + y)/2)/b]/\[Pi]) ==
Sum[(-1)^n*2^(n - 1)/
n!*(-r)^(n -
1)*(b \[Pi] (1 + (-a + (x + y)/2)^2/b^2) (1/2 +
ArcTan[(-a + (x + y)/2)/b]/\[Pi]))^(n - 1), {n, 2, 9}],
y - x == 2 b \[Pi] (1 + (-a + (x + y)/2)^2/b^2) (1/2 +
ArcTan[(-a + (x + y)/2)/b]/\[Pi]), {x, y}, Reals], {r, 0, 1/10,
1/200}]

首先，NSolve用法错误，多个方程要放在一个列表里，这个列表整体作为其第一参数。