level 2
反证即可，对应理论是最小零化式
2022年01月09日 00点01分
level 9
level 11
证明向量组线性无关，最基本的方法就是从定义出发，如果需要讨论参数的取值范围就讨论，不需要讨论就不讨论。本题就属于不需要讨k和n的关系的，只要按照题设一步一步分析就行
由题设可知
A^i*a不等于0(0<=i<=k-1)
否则就会出现A^(k-1)=0
以及
A^j*a=0(对于任何j>=k)
为分析相关性
设c1*a+c2*A*a+…+ck*A^(k-1)*a=0
若c1,c2,…ck只有零解，即可证明
a,Aa,…A^(k-1)a线性无关
将c1*a+c2*A*a+…+ck*A^(k-1)*a=0
两侧左乘A*(k-1)可得
设c1*A^(k-1)*a=0
所以c1=0
将0*a+c2*A*a+…+ck*A^(k-1)*a=0
两侧左乘A*(k-2)可得
设c2*A^(k-1)*a=0
所以c2=0
以此类推可得
c1=c2=…ck=0
说明c1*a+c2*A*a+…+ck*A^(k-1)*a=0
的系数c1,c2,…ck只有零解
所以a,Aa,…A^(k-1)a线性无关
在证明出这个结论后我们可以反推
必然有k<=n
因为a,Aa,…A^(k-1)a线性无关，它的向量个数不可能超过n个
也就是如果k>n
那么A^k*a=0且A^(k-1)*a不等于0
这种情况是不可能出现的
2022年01月09日 03点01分
3
由题设可知
A^i*a不等于0(0<=i<=k-1)
否则就会出现A^(k-1)=0
以及
A^j*a=0(对于任何j>=k)
为分析相关性
设c1*a+c2*A*a+…+ck*A^(k-1)*a=0
若c1,c2,…ck只有零解，即可证明
a,Aa,…A^(k-1)a线性无关
将c1*a+c2*A*a+…+ck*A^(k-1)*a=0
两侧左乘A*(k-1)可得
设c1*A^(k-1)*a=0
所以c1=0
将0*a+c2*A*a+…+ck*A^(k-1)*a=0
两侧左乘A*(k-2)可得
设c2*A^(k-1)*a=0
所以c2=0
以此类推可得
c1=c2=…ck=0
说明c1*a+c2*A*a+…+ck*A^(k-1)*a=0
的系数c1,c2,…ck只有零解
所以a,Aa,…A^(k-1)a线性无关
在证明出这个结论后我们可以反推
必然有k<=n
因为a,Aa,…A^(k-1)a线性无关，它的向量个数不可能超过n个
也就是如果k>n
那么A^k*a=0且A^(k-1)*a不等于0
这种情况是不可能出现的