存在无穷多个正整数n, 使得n²+1是n!的因子.

n = 2(5k - 2)².

秦奋的证法

加强 第k个(n² + 1)|n!正整数n≤18k.

n^2+1=n^2+2n+1-2n=(n+1)^2-2n
令n=2a^2,
则n^2+1=n^2+2n+1-2n=(n+1)^2-2n
=（2a^2+1）^2-4a^2
=（2a^2+2a+1）(2a^2-2a+1）
如a=65t+2，则13/2a^2+2a+1,5/2a^2-2a+1
由于2a^2>(2a^2+2a+1)/13,2a^2>(2a^2-2a+1)/5,且（2a^2+2a+1,2a^2-2a+1）=1
当t不为0时，2a^2+2a+1不等于13，2a^2-2a+1不等于5，
(2a^2+2a+1)/13，(2a^2-2a+1)/5必为1--n中的数（排除5、13），从而结论成立！
当n=2a^2=2(65t+2)^2，(n²+1)/n!

n^+1的形式是无法分析因子的，整除体系对加法很不友好，所以应该考虑苏菲恒等式取n=2k^2让其可以因式分解

常用因式分解，titu那本书上面也有

应该可以推广到任意的分圆多项式φ(m, n)，对每个正整数m，存在无穷多个n使得 φ(m, n)整除 n!

⑴当正整数m, k互素，φ(m, x^k) = ∏φ(md, x)，对k的所有因数d求乘积
⑵对正整数m, ℓφ(m, x)ℓ≤(ℓxℓ+1)^φ(m)
⑶对任给的正整数m和任意ε>0，存在整数k 与m互素，且 φ(k)/k < ε
⑷如果素数p≤n，p^α ℓℓ n!，则 α≥n/(p-1)- log(n+1)/log p
⑸如果实数y≥3x≥6，那y/x > (log y / log x)^(10/9)

对任意正整数m，可以取一个和m互素的正整数k且使 φ(k)/k 足够小，令n=x^k，x是≥2的正整数
则 φ(m, n) = φ(m, x^k) = ∏φ(md, x)
右边乘积中的每个因式绝对值都不超过 (ℓxℓ+1)^ φ(mk) ≤ x^ 2φ(m)φ(k) = n^(2φ(m)φ(k)/k)
所以φ(m, n) 的最大素因子P ≤ n^(2φ(m)φ(k)/k)，令c = log P / log n，c 可以小于任意给定正数
而对每个素数p≤n，如果设p^α ℓℓ n!，p^β ℓℓ φ(m, n)
那 β ≤ [ log φ(m, n) / log p ] ≤ φ(m)×log (n+1) / log p
α ≥ n/(p-1)- log(n+1) / log p
要让β≤α，只要(φ(m)+1)×log (n+1) / log p ≤ n /(p-1)
只要 (φ(m)+1) ≤ n /(p-1) × log p / log(n+1)
当x较大，c足够小时 n≥3p≥p-1，则 n/(p-1)≥(n+1)/p
右边≥ (n+1)/p × log p / log(n+1) > (log(n+1) / log p)^(1/9) > c^(-1/9) →+∞
所以x比较大并且c足够小时，总可以使φ(m, n)的所有素因子p 满足β(p)≤α(p)，则φ(m, n) ℓ n!

推广包括两方面（＾ｖ＾）
①对分圆多项式 φ(m, x)，存在n 使φ(m, n)的最大素因子P 满足 log P / log n可以小于任意正数
②对任何多项式f(x)存在常数c，使得对任何足够大的正整数n和满足p≤cn的素数p，f(n)因数中p 的幂次总能整除 n!