对于方程a^x=e的近似解的手算方法。
首先发现(n/n-k)^x=e x有近似解(n-k)/k+1/2（n/k越大越精确）
假设a=p/q,令k=pn,则解方程p/q=n/n-pn 解出来常数p的值然后代入近似解的式子x=(n-k)/k+1/2 可以计算出比较精确的方程的解 而且非常简单 解一个方程仅仅需要大概10秒
而且更重要的是，由于a^x=e^xlna 即原方程可以化为xlna=1 即原方程解为x=1/lna ，lna=1/x,将算出的近似解取倒数，可以手算出对数的值即lna=2k/(2n-k) 对于a在1附近时可以精确到小数点后2位

完全初等的方法

例如
题目：求ln(4/3)
先解(4/3)^x=e
4/3=n/(n-pn)解得p=1/4,也就是k=1/4n 代入(n-k)/k+1/2解得x有近似值3.5,则ln(4/3)≈1/3.5=0.2856,而ln4/3精确值为0.288
可以说是非常精确了
这个相比于lnx~x-1得到的0.3333精确了不知道多少

你要相信咱们普通人能发现的东西数学家老早就发现过了

7楼说的对

这是一个精度很高，手算相对友好的近似（用digamma函数推导出来的）

反正就泰勒展开