这道题是我做理论研究时由物理模型转化成的数学模型，无奈能力有限始终不得解。现放诸网络，寄希望于有数学大才能予指点，万分感谢。
题在下一楼，图片形式

@香椿树爱喝椰汁

好的

还是阶乘啊。。。求不了

哦好像不是简单的二项分布

题目简化些，k取整数

这个概率应该与自然数k可以分解为小于等于n的不重复的自然数之和的个数m有关，比如：若n=5，当k=1时，只能分解为1个，m=1，概率=1/2^5，当k=5时，由于5=1+4=2
+3
，可分解为3个，概率=3/2^5。

@陈彼方º @◎粒子宇宙观察者25 ，左老师 可以 艾特一下 小青莲，我在手机上不好 艾特

@夸kiss♀♀

思路如下：
由（1）可得一个包括1,-1组成的随机序列，比如记录为1，-1，-1，1.....
由（2）可知这个序列中1、-1出现的概率各一半。
所以由排列组合，若序列长度为 n，则每个序列出现的概率为：1/2^n.
Sn得到的结果其实就是自然数进制乘以1或-1之和。
比如n=3，S(1,1,1）=3+2+1=6，
再比如n=5，S(1,1,1,1,1）=5+4+3+2+1=15，S(1,1,-1,1,-1)=5+4-3+2-1=7......
即S(an,...a2,a1)的结果是：an*n+...+a2*2+a1*1
由于S的全序列中有些计算结果是相同的，S(an,....,a2,a1)=S(bn,...b2,b1)，则有：
（an-bn)*n+...+(a2-b2)*2+(a1-b1)*1=0，忽略am=bm(m=1~n)同为1或-1的部分，就只要比较相同位置上1或-1不同的。∑(am-bm)*m，其中m为小于等于n的自然数。这样可以看出：相对于全1的序列，如:S(1,1,1,1,1）比 S(1,-1,1,1,1）第4位不同，S(1,1,1,1,1）-S(1,-1,1,1,1）=2*4，另外4又可以写成1+3（小于n的不同自然数之和），那么S(1,1,1,1,1）-S(1,1,-1,1,-1）=2*(3+1)，S(1,-1,1,1,1）实际上和S(1,1,-1,1,-1）的结果是一样的，计算出来分别是：5-4+3+2+1=5+4-3+2-1=7，由于(1,-1,1,1,1）和(1,1,-1,1,-1）出现的概率也都是1/2^5，那么这两个序列出现相同结果概率就是两者之和，2/2^n。
总结下来就是俺的结论：概率与自然数k可以分解为小于等于n的不重复的自然数之和的个数m有关，为m/2^n。

当 a0 = 0 时，满足条件 1、2 的 数列 有 2 个：
[ 0, 1, 0, 1, 0, 1 …… ] ， 记为 A1，
[ 0, -1, 0, -1, 0, -1 …… ] ， 记为 A2 ，
A1 的 S3 = 0 + 1 + 0 + 1 = 2
A2 的 S3 = 0 - 1 + 0 - 1 = -2
如果 可以让 Sn 里 的 a1 可以 任取 A1 的 a1 和 A2 的 a1 这两个 a1 的 其中一个，
a2 可以 任取 A1 的 a2 和 A2 的 a2 这两个 a2 的 其中一个，
……
an 可以 任取 A1 的 an 和 A2 的 an 这两个 an 的 其中一个，
则 S3 可能 是 以下 这样一些 值 ：
S3 = 0 + 1 + 0 + 1 = 2
S3 = 0 - 1 + 0 - 1 = -2
S3 = 0 + 1 + 0 - 1 = 0
S3 = 0 - 1 + 0 + 1 = 0
也就是 2, 0, -2 这 3 个 值， 显然 这和 题目中说 S3 的 值 是 6, 4, 2, 0, -2, -4, -6 不符，
要想 Sn 有 6, 4, 2, 0, -2, -4, -6 ， 应该 n = 6 ， 即 S6 才行 。