一楼度娘

写这篇帖子主要是因为自己在锻日光一文字的时候，投了大约53w+资源，心态差点崩掉。于是便想简单计算一下如果想锻到一振新刀，大概需要尝试多少次。

个人认为，知道自己大概能在多少次出货和完全盲目地烧资源锻刀，心态是完全不同的，这也是我写这个帖子的原因。接下来会进行简单的概念分析和公式计算（本人非专业学统计的，出现什么错误请不吝指出，毕竟我真的很菜）

以下概念基本来自维基百科以及我好久以前学的一点点统计，先在此声明。

首先，我们先确定限锻成功率所需的统计分布。根据我的分析，在这里应该使用负二项分布。
定义（维基百科）：
若每次伯努利试验有两种可能的结果，分别为成功或者失败。在每次试验中，成功的概率为p，失败的概率为（1-p）。反复进行该伯努利试验，直到观察到第r次成功发生。此时试验失败次数X的分布即为负二项分布（或称帕斯卡分布），那么：
若随机变量X服从参数为r和p的负二项分布，则记为X~NB(r,p).
简单解释一下，当我们锻刀的时候，只有两种结果，成功或者失败。设成功的概率为p，则失败的概率为（1-p）。假设我们只需要锻到一把刀就算成功，那么r=1。此时，负二项分布就变成帕斯卡分布，通过带入帕斯卡分布的各项公式，我们就能知道大约多少次以后，我们能够锻到自己的第一把新刀。
ps：为了简便计算，我只讨论需要锻一把新刀的情况。如果有姐妹想锻满乱舞，请把r替换成先要锻出刀的数目，并按照负二项分布的公式重新计算。

锻刀成功率的数据来源自ToukenBrowser，这是我唯一能找到的数据来源，如果有更好的参考数据，也请姐妹们指出。
接下来我以日光一文字为例，给大家计算一下出货的概率（谁叫我锻他搞到崩溃呢）

根据ToukenBrowser的数据，日光一文字的出货率是0.12%，即p=0.12%；绝大多数姐妹锻到一把就算成功，即r=1。
期望值是r(1-p)/p=1*(1-0.12%)/0.12%=832.33，即平均需要锻832次才能出货，各资源需要准备416000。
方差是r(1-p)p^2=1*(1-0.12%)*0.12%*0.12%=1.44*10^(-6)

重头戏来了，接下来我介绍两个概念，概率质量函数(pmf) f(x)和累计分布函数(cdf) F(x)，后者是前者的积分。
pmf是离散随机变量在各特定取值上的概率，也就是说假设你锻了x次，那你成功的概率就是f(x)。
cdf则可以更好的描述分布的情况，比如说有a%的人在第x次成功锻出了刀（包括不到x次就成功锻出了刀的情况），此时a%=F(x)。
下面给出公式

因为我不会在贴吧里打公式，所以接下来的步骤我会手写。
令x为锻刀次数，r为想要几把刀，p为锻刀成功率。
ps：当r取除了1以外其他值的时候，cdf的计算会变得极为繁琐，所以此处不列出推导过程，有兴趣的姐妹可以参见wiki的Beta funktion词条中Reciprocal beta function部分。

计算过程

补一下p为成功率的公式

看了一眼时间，同事6点半就起来研究刀学了。好厉害啊。

此时我们得到三个公式。
pmf：f(x)=[p(1-p)^x]/x，p为锻刀成功率，x为锻刀次数。公式的意思是当你锻了x次刀时，你的成功率是f(x)。
cdf：F(x)=1-(1-p)^(x+1)，当你锻了x次刀时，有F(x)的人可以锻出刀。（此处F(x)为比例，可以换算成百分数）
G(x)=log(1-p)(1-x)-1=[lg(1-x)/lg(1-p)]-1，假设有x的人成功锻出了刀，那么你需要最多锻G(x)次。（此处x为比例，如95%的人成功锻出了刀，那么你最多需要锻G(x)次。其中G(x)为F(x)的反函数，(1-p)为底数，(1-x)为真数，也可以直接用后一个常用对数公式计算）

以我烧了53w资源锻日光一文字为例，当公式为all500的情况下我锻了1060次。根据ToukenBrowser的数据，锻造成功率p为0.12%。
带入pmf：f(1060)=[0.12%*(1-0.12%)^1060]/1060=3.17*10^(-7)，也就是说和我一样正好1060次锻出日光一文字的姐妹只占所有出货姐妹的3.17*10^(-5)%呢，真是毫无意义的数据啊，大家看过就算了。
带入第一个cdf公式：F(1060)=1-(1-0.12%)^(1060+1)=0.72=72%，这就是说如果和我一样锻了1060次，那么有72%的姐妹能出货。是不是有意思起来了呢~

接下来我们再简单粗暴的定义一下欧皇、亚洲人、非酋和令人同情的沉船大佬。
假设有N个人参与锻刀，每个人锻了X次才成功，我们把这N个人分组，锻一次成功的分一组，锻两次成功的分一组……以此类推（这就是分布的通俗解释）。然后将每个组从小到大排列，前0~25%的是欧皇，前0~50%的是亚洲人，0~75%的是非酋，0~95%的是沉船大佬。
欧皇需要锻的次数：G(25%)=[lg(1-25%)/lg(1-0.12%)-1=239，欧皇居然只要119500的资源就能出货了呢！
亚洲人：G(50%)=577，资源各需要288500。
非酋：G(75%)=1155，需要577500的资源，怪不得我这次快要崩溃，原来我已经算非酋了……
沉船大佬：G(95%)=2495，居然需要1247500的资源，完全爆仓了呢（ 也就是说即使你是满资源大佬，也有很小的概率会沉船，希望这种事不要发生在我身上……（flag）