在△ABC所在平面上找一点，它到三个顶点的距离之和最小。　　只考虑△ABC的三个内角都小于120°的情况。　　以 AB、BC、CA为边向形外作正三角形BCD、ACE、ABK，作此三个三角形的外接圆。设⊙ABK、⊙ACE除A外的交点为F，由 A、K、B、F四点共圆知∠AFB＝120°。同理∠AFC＝120°于是∠BFC=120°。故⊙BCD边过点F，即⊙ABK，⊙BCD，⊙CAE共点F。　　由∠AFB=120°，∠BFD=60°，知 A、F、D在一条直线上。　　在FD上取点G，使FG=FB，则△FBG为正三角形。由BG＝ BF， BD＝BC，∠DBG＝∠CBF＝60°-∠GBC，故△DBG≌△CBF。于是GD＝FC，即AD=FA+FB+FC。对于平面上任一点P，以BP为一边作等边△PBH（如图4），连HD，同样可证△BHD≌△BPC。于是AP+PH+HD=PA+PB+PC。但PA+PH+HD≥AD=FA+ FB+FC。这就是说，点F为所求点。这点称为△ABC的费尔马点。　　如果△ABC有某一内角≥120°，例如∠A≥120°，则点A即为所求点。 

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