自己输入的代码是这样的
In[6]:= \[Psi][\[Xi]] = E^(-\[Xi]^2/2) H[\[Xi]];
H[\[Xi], Subscript[a, \[Nu]]] =
Sum[Subscript[a, \[Nu]] \[Xi]^\[Nu], {\[Nu], 0, \[Infinity]}];
\[Psi][\[Xi]]
Out[8]= E^(-(\[Xi]^2/2)) H[\[Xi]]
In[9]:= \[Psi]'[\[Xi]] = D[E^(-(\[Xi]^2/2)) \!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(\[Nu] = 0\), \(\[Infinity]\)]\(
\*SuperscriptBox[\(\[Xi]\), \(\[Nu]\)]\
\*SubscriptBox[\(a\), \(\[Nu]\)]\)\), \[Xi]]
Out[9]= E^(-(\[Xi]^2/2)) \!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(\[Nu] =
0\), \(\[Infinity]\)]\(\[Nu]\
\*SuperscriptBox[\(\[Xi]\), \(\(-1\) + \[Nu]\)]\
\*SubscriptBox[\(a\), \(\[Nu]\)]\)\) - E^(-(\[Xi]^2/2)) \[Xi] \!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(\[Nu] = 0\), \(\[Infinity]\)]\(
\*SuperscriptBox[\(\[Xi]\), \(\[Nu]\)]\
\*SubscriptBox[\(a\), \(\[Nu]\)]\)\)
In[10]:= \[Psi]''[\[Xi]] = D[E^(-(\[Xi]^2/2)) \!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(\[Nu] = 0\), \(\[Infinity]\)]\(
\*SuperscriptBox[\(\[Xi]\), \(\[Nu]\)]\
\*SubscriptBox[\(a\), \(\[Nu]\)]\)\), {\[Xi], 2}]
Out[10]= -2 E^(-(\[Xi]^2/2)) \[Xi] \!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(\[Nu] =
0\), \(\[Infinity]\)]\(\[Nu]\
\*SuperscriptBox[\(\[Xi]\), \(\(-1\) + \[Nu]\)]\
\*SubscriptBox[\(a\), \(\[Nu]\)]\)\) + (-E^(-(\[Xi]^2/2)) +
E^(-(\[Xi]^2/2)) \[Xi]^2) \!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(\[Nu] = 0\), \(\[Infinity]\)]\(
\*SuperscriptBox[\(\[Xi]\), \(\[Nu]\)]\
\*SubscriptBox[\(a\), \(\[Nu]\)]\)\) + E^(-(\[Xi]^2/2)) \!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(\[Nu] =
0\), \(\[Infinity]\)]\(\[Nu]\ \((\(-
\*SuperscriptBox[\(\[Xi]\), \(\(-2\) + \[Nu]\)]\) + \[Nu]\
\*SuperscriptBox[\(\[Xi]\), \(\(-2\) + \[Nu]\)])\)\
\*SubscriptBox[\(a\), \(\[Nu]\)]\)\)
In[13]:= eq2 = \[Lambda] \[Psi][\[Xi]] - \[Xi]^2 \[Psi][\[Xi]] + (\
\[Psi]^\[Prime]\[Prime])[\[Xi]]/\[Alpha]^2 == 0 // Simplify // Expand
Out[13]= E^(-(\[Xi]^2/2)) \[Lambda] H[\[Xi]] -
E^(-(\[Xi]^2/2)) \[Xi]^2 H[\[Xi]] - (2 E^(-(\[Xi]^2/2)) \[Xi] \!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(\[Nu] =
0\), \(\[Infinity]\)]\(\[Nu]\
\*SuperscriptBox[\(\[Xi]\), \(\(-1\) + \[Nu]\)]\
\*SubscriptBox[\(a\), \(\[Nu]\)]\)\))/\[Alpha]^2 - (
E^(-(\[Xi]^2/2)) \!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(\[Nu] = 0\), \(\[Infinity]\)]\(
\*SuperscriptBox[\(\[Xi]\), \(\[Nu]\)]\
\*SubscriptBox[\(a\), \(\[Nu]\)]\)\))/\[Alpha]^2 + (
E^(-(\[Xi]^2/2)) \[Xi]^2 \!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(\[Nu] = 0\), \(\[Infinity]\)]\(
\*SuperscriptBox[\(\[Xi]\), \(\[Nu]\)]\
\*SubscriptBox[\(a\), \(\[Nu]\)]\)\))/\[Alpha]^2 + (
E^(-(\[Xi]^2/2)) \!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(\[Nu] =
0\), \(\[Infinity]\)]\(\[Nu]\ \((\(-
\*SuperscriptBox[\(\[Xi]\), \(\(-2\) + \[Nu]\)]\) + \[Nu]\
\*SuperscriptBox[\(\[Xi]\), \(\(-2\) + \[Nu]\)])\)\
\*SubscriptBox[\(a\), \(\[Nu]\)]\)\))/\[Alpha]^2 == 0
好像不可以上传附件，所以我传到了百度云盘
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提取码：math
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……你确定这问题本身没问题吗？比如
下一步，我想得到 Subscript[a, \[Nu]+2]/Subscript[a, \[Nu]]在\[Nu]->\[Infinity]的值，应当是 2/\[Nu]
\[Nu]->\[Infinity] 的话 2/\[Nu] 就为 0 了啊？行，这种陈述可能是指渐近行为，那我们试着算一下。显然这个问题可以靠直接解微分方程来回避对 Sum 的处理：
solH = E^(\[Xi]^2/2) DSolveValue[eq2, \[Psi][\[Xi]], \[Xi]]
接下来再将 solH 级数展开就能获得和式了。这里随便代组数（好吧，其实我并没有随便代，因为尽管你问题里没说，但这个问题多半要求 \[Psi]在实数域内有界。特殊函数的相关理论我基本是一窍不通，但稍加试探便会发现，抛物柱面函数似乎只有在第一个参数为正整数时才会满足这条。）
points = {#,
SeriesCoefficient[
solH /. {\[Alpha] -> 2, \[Lambda] -> 1., C[1] -> 1, C[2] -> 0}, {\[Xi], 0, #}]} & /@
Range[1, 21, 2]
Show[Plot[2/x, {x, 1, 21}, PlotRange -> All, AxesOrigin -> {0, 0}], ListLinePlot@points]
显然，系数并非渐近于2/\[Nu]。
你还是再检查下问题吧。

感谢大佬愿意花时间检查我的代码。
实际上这是一个求解Hermit方程的式子，需要用到无穷级数的递推关系。写出来很容易出错。
后来这个方程我在Mma当中找到了，函数名称是H。在量子力学常用公式当中。
所以我在后边的代码中就直接引用了H。
再次感谢大佬~

……近期看了一点量子力学的东西，证实了我先前的想法：LZ的问题本身就是错的，第一步的换元少了系数，应该是 E^(α ξ^2/2) 。顺便说一句，这套论证接下来的大致内容是：由系数比例推出这个无穷级数不收敛（这步推导其实是不严格的），所以级数必须要在中途被“打断”，也就是要让级数的系数在某一步变为0，由此即可算出满足条件的能量（也就是这个特征值问题的特征值）。但实际上，虽然这个特征值问题多少有些触到了Mathematica的能力边界，我们依旧可以用比教科书解法更直接且“暴力”的方法来求解此问题。总之先算方程通解：
问题是定义在无穷域上的，边界条件是函数在整个域上有界。如果我的猜测不错，此处应该可以由ParabolicCylinderD的性质直接判断出正确的特征值，不过相关资料我没找到，我们还是按“一般”的思路继续分析。将这个函数在正无穷处展开并适当整理：
显然C[2]必须为0，否则函数在无穷远处要起飞，代入，在负无穷处再展开并整理：
又有一项要起飞，但这次不能靠把C[1]设成0来解决了，因为我们需要的是非平凡解。要让这项变0，得用到Gamma函数的性质：自变量是非正整数时Gamma函数趋于无穷：
In[627]:= Simplify[Gamma[n], n \[Element] Integers && n <= 0]
Out[627]= ComplexInfinity
非要重现教科书里的做法并非不可以，但需要更多的人工分析。（这里的主要痛点是求和的指标挪移。）最后一步照例级数展开，得出渐近行为：
最后，RSolve其实可以算出这个递推式的通项，且由通项出发进行分析并非完全行不通，不过我这会儿累了，所以就先不弄了。

插眼！！！这是我本科毕业时候的题目，当时稀里糊涂的就过去了，再下回来贴吧才发现了吧主这么认真体贴的回复。
写完今年的毕业论文一定把这个问题彻底解决掉！！！
再次感谢吧主大大！！！