首先，这是个糟糕的问题，参这帖4楼：
https://tieba.baidu.com/p/2964416898
然后，因为我恰好懂一点积分变换，这里姑且猜一猜。假设那个δ是一个类似微分的运算那么这里发生的运算非常单纯，就是对导数项的傅立叶变换：
FourierTransform[f'[t], t, w]
想要让上述运算自动发生在整个表达式上当然也是可以的，稍微额外编一点程就行，参看SE帖子《Workarounds for a possible bug in the linearity of FourierTransformAsk Question》（编号56237）。（当然，这帖里不包含针对δ的规则，不过增加相应规则的方法是完全类似的。）