level 1
三角换元
2020年11月22日 11点11分
level 4
level 11
吧里的水友们积分功力都好差
这种题目，看到积分项是sqrt(a^2+x^2)乘上一个x的有理式，马上就应该想到尝试两个思路。
首先尝试第一个思路，从x的分式里提出一个x来，和dx乘起来变成d(x^2)，然后试着把原式的有理式部分变成关于x^2的有理式。如果成功了，那就继续执行第一个思路，做变量代换u=sqrt(a^2+x^2)，这个时候，原式会变成关于u的有理式积分，然后用有理式的常规积分法求解就好。
假如第一种思路失效了，即在原式的有理式部分提出一个x以后，没法变成x^2的有理式，那就采取第二种思路——三角代换，把x变成atan(t)，这样sqrt(a^2+x^2)就变成了a|sect|（可以视具体情况设定t的范围来去掉绝对值符号），dx就是asec^2(t)，原式就换成了关于t的三角有理式。这时候还是无法观察到接下去的做法，那就再做万能代换u=tan(t/2)，这样原式就成为了关于u的有理式，然后按有理式的常规积分法计算即可。
2020年11月22日 17点11分
3
这种题目，看到积分项是sqrt(a^2+x^2)乘上一个x的有理式，马上就应该想到尝试两个思路。
首先尝试第一个思路，从x的分式里提出一个x来，和dx乘起来变成d(x^2)，然后试着把原式的有理式部分变成关于x^2的有理式。如果成功了，那就继续执行第一个思路，做变量代换u=sqrt(a^2+x^2)，这个时候，原式会变成关于u的有理式积分，然后用有理式的常规积分法求解就好。
假如第一种思路失效了，即在原式的有理式部分提出一个x以后，没法变成x^2的有理式，那就采取第二种思路——三角代换，把x变成atan(t)，这样sqrt(a^2+x^2)就变成了a|sect|（可以视具体情况设定t的范围来去掉绝对值符号），dx就是asec^2(t)，原式就换成了关于t的三角有理式。这时候还是无法观察到接下去的做法，那就再做万能代换u=tan(t/2)，这样原式就成为了关于u的有理式，然后按有理式的常规积分法计算即可。
