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略过实数完备化过程。直接进入正题。
实分析基于测度空间而建立。什么事测度空间(measure space)？我们先从一些基本概念来开始。
记X为一个集合，它上面可以定义一个代数A：它是一系列X的子集，满足：
1.空集和X自己在A中；
2.若集合P在A中，它的补P^c也在；
3.有限交/并是封闭的。
如果A满足对任意并封闭，则A成为一个σ-代数。（此时对“任意交封闭”是冗余的，为什么？）
例子：X={1,2,3}，A={X,∅,{1},{2,3}}，则A是个σ-algebra
引理1：若A_n对某个非空index set中的任何元n都是个σ-代数，则所有这些A_n的交也是。

记C为某个X子集的集合，定义σ(C)为所有σ-代数A_n的交，使得C为A_n子集。称σ(C)为C生成的σ-代数。若X是个度量空间，C为全部X的子集，则称σ(C)为X的Borel σ-代数，常记作B。
命题：若X=R，B为其Borel σ-代数，则B可以被形如(a,b) [a,b] (a,b] (a,∞)这四种类型区间的任意一种构成的子集族生成。
下面介绍个小定理，挺难证明的。
定义单调类(monotone class)为一个X的子集族M，它满足：
1.若A_i 单调递增（每个A_i含于A_{i+1}）趋近于 A且每个A_i在M内，则A在M内；
2.若A_i 单调递减趋近于 A且每个A_i在M内，则A在M内。
单调类定理：若A_0是个代数，A是最小的包含A_0的σ-代数，M是最小的包含A_0的单调类，则M=A。

今晚暂停，缓更。