因为最近时间比较充裕，这几天一直在解答吧里数学几何题，把最近吧里的几何问题做了一个小小的归纳总结，一起进步提供，本人只是喜欢数学。感谢大家！

根据轴对称的性质可得：PD=PB，CD=CB，∠DCP=∠BCP=30°，
∴∠DCB=60°，
∴△DCB是等边三角形，
∴∠DBC=∠BDC=60°，DB=DC，
∴∠PDB=∠PBD=∠DBC-∠PBC=60°-40°=20°，
∵∠BAP=20°，∴∠PDB=∠BAP，
∴A、P、B、D四点共圆，
∴∠ADP=∠ABP=10°，
∴∠ADB=∠PDB+∠ADP=20°+10°=30°，
∴∠ADC=∠BDC-∠ADB=60°-30°=30°，
∴∠ADB=∠ADC．
在△ADB和△ADC中，
AD=AD
∠ADB=∠ADC
BD=CD，
∴△ADB≌△ADC（SAS），
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．

∠BPE=∠BAP+∠ABP=30°=∠PBC
则△APB≌△APF
∴AP垂直平分BF，∠AFP=8°
∴∠FPE=∠BPE=30°
∠CBF=30°=∠CBP，∠BFP=60°=∠BPF
∴BC垂直平分PF
∴∠CPF=∠CFP=8°
∴∠DPC=38°
∴∠APC=142°

即AD是等腰三角形ABC底边上的高，
∴AD是边BC的垂直平分线，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∵BE⊥CE，
∴∠CEB=90°，
∴∠EBC=90°-30°=60°，
∴∠OBE=60°-30°=30°=∠OBD，
在△OEB和△ODB中
∠OEB=∠ODB=90°
∠EBO=∠DBO
BO=BO
∴△OEB≌△ODB（AAS），
∴OD=OE，BD=BE，
∵∠BEC=∠ADB=90°，
∴在Rt△ABD和Rt△PBE中
AB=BP
BD=BE，
∴Rt△ABD≌Rt△PBE（HL），
∴∠BAO=∠BPO，AD=PE，
∵OE=OD，
∴AO=PO，
在△AOB和△POB中
AB=BP
∠BAO=∠BPO
AO=OP
∴△AOB≌△POB（SAS），
∴∠ABO=∠PBO=1/2∠ABP=1/2×40°=20°，
∴∠PBC=30°-20°=10°．

∵AB=AC，∠BAC=80°，
∴∠ABC=∠ACB=50°，
又∵∠PBC=10°，∠PCB=20°，
∴∠BPC=150°，∠ACP=30°，∠ACP′=30°，
∴∠PCP′=60°，
∴△PCP′是等边三角形，
∴PP′=PC，∠P′AC=∠PAC，∠P′PC=60°，
∴∠BPP′=360°-150°-60°=150°，
∴∠BPP′=∠BPC，
∴△PBP′≌△PBC，
∴∠PBP′=∠PBC=10°，
∴∠P′BC=20°，∠ABP′=30° 又∠ACP′=30°，
∴∠ABP′=∠ACP′，
∴A、B、C、P′四点共圆，
∴∠PAC=∠P′AC=∠P′BC=20°，
∴∠PAB=60°．