理想的质数定理与极限公式

合肥工业大学八四届工学学士 ( [email protected] )
（ 中国浙江省宁波市鄞州区横溪镇桃园新村路下9号105室，邮编：315131 ）
摘 要
设Pi(N) 为不大于整数N的质数的总个数， Pi (2≤Pi≤Pm) 为不大于√N的所有质数, 那么，有如下公式成立：
Pi(N) ＝ INT { N×∏(1－1/Pi) }＋m－1 ＝ Li(N) － 0.5×Li(N^0.5) ± 0.5×Li(N^0.5)
Li(N^0.5) ≥ Li（N）－ Pi（N）≥ 0 : ( 黎曼假设被证明 )
Pi（N）＝ R（N）＋ K ×（ Li（N）－ R（N））, 1 ≥ K ≥ －1 .
P（K） ＝ 1.99471140200716338969973029967…×EXP（－12.5×K×K ）
式中INT { … } 表示对 { … } 内公式展开式的每一项取整后再进行加减运算, Li（N）为高斯的自然对数倒数的积分公式，R（N）为黎曼质数计数函数, P（K）为正态分布 N（μ＝0，σ＝0.2 ).
关键词: 取整, 质数, 筛法, 质数分布定理, 黎曼假设, 正态分布.

一、质数
设Ni为不大于N的自然整数, 那么，有如下公式成立：
Ni ≤ N (1)
根据上面的公式，我们可以得到如下数组:
(1), (2), (3), (4), (5), … , (N).
由上面的排列我们可以得到如下公式:
Ni(N) ＝ N ＝ 小于或等于N的自然正整数Ni的总个数 (2)
如果Ni能被不大于√N的任一质数整除, 那么, 筛掉正整数Ni；如果Np不能被不大于√N的所有质数整除，那么, 正整数Np是一个质数.

二、筛法
设Pi为不大于√N的质数, 整数Ni能被质数Pi整除的整数的个数为 INT( N/Pi ), 整数Ni不能被质数Pi整除的整数的个数为:
Np(N, Pi) ＝ N－INT ( N/Pi ) ＝ INT { N－N/Pi } ＝ INT{ N×(1－1/Pi) } (3)
式中INT { … } 表示对 { … } 内公式展开式的每一项取整后再进行加减运算.

三、理想的质数分布定理
设Pi(N)为不大于整数N的质数的总个数, Pi (2≤Pi≤Pm) 为不大于√N的所有质数, 那么，有如下公式成立：
Np(N) ＝ INT{ N×(1－1/P1)×…×(1－1/Pm) } ＝ INT{ N×∏(1－1/Pi) } (4)
Pi(N) ＝ Np(N) ＋ m － 1 ＝ INT{ N×∏(1－1/Pi) } ＋ m － 1 (5)
Pi（N）＝ Li（N）×（1－（1＋1 /（Ln（N）－5））/√N ±（1＋1 /（Ln（N）－5））/√N ） (6)
式中INT { … } 表示对 { … } 内公式展开式的每一项取整后再进行加减运算, Li（N）为高斯的自然对数倒数的积分公式, Ln（N）为自然数 N 的自然对数.

四、理想的质数的正态分布定理
设Pi(N)为不大于N的质数的总个数, 对于任一正整数N，新的质数分布定理可以由如下公式表示:
Pi（N）＝ R（N）＋ K ×（ Li（N）－ R（N））, 1 ≥ K ≥ －1 . (7)
Pi（N）＝ R（N）±（Li（N）－R（N））, Pi(N) ＝ Li(N)－0.5×Li(N^0.5)±0.5×Li(N^0.5) (8)
P（K） ＝ 1.99471140200716338969973029967… × EXP（－12.5×K×K ） (9)
式中 R（N）为黎曼质数计算函数，P（K）为正态分布 N（μ＝0，σ＝0.2 )，Li（N）为高斯的自然对数倒数的积分公式。

五、理想的质数分布定理的极限公式
设Pi(N)为不大于N的质数的总个数, 对于任一正整数N，新的质数分布定理可以由如下公式表示:
Pi（N）≡ INT { N ×（1 － 1/P1）×（1 － 1/P2）× … ×（1 － 1/Pm）＋ m － 1 } (10)
Li（N）≥ Pi（N）≥ R（N）－（ Li（N）－ R（N）） ＝ 2×R（N）－ Li（N）＝ Si（N） (11)
2×( Li（N）－ R（N）) ≈ Li(N^0.5) ≥ Li（N）－ Pi（N）≥ 0, ( 黎曼假设被证明 ) (12)
式中INT { … } 表示对{ … }内公式展开式的每一项取整后再进行加减运算，P1, P2, …, Pm为不大于√N的所有质数, Li（N）为高斯的自然对数倒数的积分公式, R（N）为黎曼质数计算函数.

六、理想的质数分布定理的验证
Pi(N) ＝ Li(N) － H × Li(N^0.5) ＝ Li(N) － 0.5 × Li(N^0.5) ± 0.5 × Li(N^0.5)

N Li （N） Pi（N） Li（N）－ Pi（N） Li(N^0.5)
2^02 2.967 2 0.967 1.045
2^04 8.519 6 2.519 2.967
2^06 21.934 18 3.934 5.253
2^08 60.513 54 6.513 8.519
2^10 181.078 172 9.078 13.605
2^12 576.922 564 12.922 21.934
2^14 1919.888 1900 19.888 36.042
2^16 6583.986 6542 41.986 60.513
2^18 23069.193 23000 69.193 103.721
2^20 82137.527 82025 112.527 181.078
2^22 296113.838 295947 166.838 321.114
2^24 1078221.700 1077871 350.700 576.922
2^26 3958349.548 3957809 540.548 1047.751
2^28 14631777.673 14630843 934.673 1919.888
2^30 54401475.618 54400028 1447.618 3544.244
2^32 203284081.999 203280221 3860.999 6583.986
2^34 762944445.930 762939111 5334.930 12296.067
2^36 2874412059.223 2874398515 13544.223 23069.193
2^38 10866289002.503 10866266172 22830.503 43453.811
2^40 41203130440.933 41203088796 41644.933 82137.527
2^42
15666109326
8.208
15666103423
3 59035.208 155739.964
2^44 597116514592.781 597116381732 132860.781 296113.838
2^46 2280998920877.337 2280998753949 166928.337 564411.512
式中 Li（N）为高斯的自然对数倒数的积分公式, 黎曼假设被证明.
Li（N）－ R（N）≈ 0.5×Li(N^0.5)，Pi(N) ＝ Li(N) － 0.5×Li(N^0.5) ± 0.5×Li(N^0.5)