最近有很多纠结于函数性质的问题，所以开个帖子讨论一下，希望令结果更完善。最好都带上例子解释

二楼

Qn 1：
设函数f(x)在x=a处，
讨论各种情况并画图解释：
1.左极限不存在，右极限不存在
2.左极限存在，右极限不存在
3.左极限不存在，右极限存在
4.左极限存在，右极限存在
==>4.1.左极限≠右极限
==>4.2.左极限=右极限
这各种情况，f(x)在x=a处连续吗？

Qn 2：
设函数f(x)在x=a处，导数为f'(x) (若存在)
讨论各种情况并画图解释：
5.左导数不存在，右导数不存在
6.左导数存在，右导数不存在
7.左导数不存在，右导数存在
8.左导数存在，右导数存在
==>8.1.左导数≠右导数
==>8.2.左导数=右导数
这各种情况，
f(x)在x=a处连续吗？
f(x)在x=a处可导吗？
f'(x)在x=a处连续吗？
f'(x)在x=a处可导吗？

Qn 3：
设函数f(x)在x=a处，一阶导数为f'(x) (若存在)，二阶导数为f''(x) (若存在)
讨论各种情况并画图解释：
9.一阶导数存在，二阶导数不存在
10.一阶导数存在，二阶导数存在
这各种情况，
f(x)在x=a处连续吗？
f(x)在x=a处可导吗？
f'(x)在x=a处连续吗？
f'(x)在x=a处可导吗？
f''(x)在x=a处连续吗？
f''(x)在x=a处可导吗？
斜率变化率如何？？
凹凸性如何？？

11.1.一阶导数存在时，该点是否还可以是极值点？？(驻点)
11.2.1.一阶导数不存在时，该点是否还可以是极值点？？(尖点)
11.2.2.一阶导数不存在时，该点是否还可以是极值点？？(中断，两侧极限不等，或不存在)
11.2.3.一阶导数不存在时，该点是否还可以是极值点？？(斜率垂直于x轴)

12.1.二阶导数存在时，该点是否可以是拐点？？
12.2.1.二阶导数不存在时，该点是否还可以是拐点？？
讨论下面拐点的情况：
13.1.一阶导数不存在的点
13.2.一阶导数存在，而二阶导数不存在的点
13.3.二阶导数存在时，二阶导数为0的点

4.4.
来一个最容易的反例
函数连续推不出可导.

4.3.
左极限=右极限
但函数x=0处并无定义
在x=0处补充定义后才有连续，并且是可去间断点

1.
左极限≠右极限
左极限=+∞(不存在)
右极限=-∞(不存在)
一般归纳为 无穷间断点 性质
但我认为它其实也是 跳跃间断点 的一种
这类间断点不是毫无用途的，例如在计算这类积分时会有很大帮助：

2. 和 3.
本性奇点
跳跃间断点 和 无穷间断点 的组合
明显特征是左右极限不相等
并且在x=0处的展开式中，会有无穷个负幂项
另外一个情况：
左极限不存在
右极限不存在
但结果都是+∞
无穷间断点
然后这里有一个问题，他们的极限都是+∞，你觉得左右极限的趋向速度一样吗？
换个说法，你觉得这个函数是偶函数吗？

4.1.
符号函数，性质跟绝对值函数差不多，但它是不连续的
另外一个常见的取整函数：

所以对于Qn 1.
左极限存在，右极限存在
左极限=右极限=函数值
则f(x)在x=a处连续
左极限存在，右极限存在
左极限=右极限≠函数值
这个需要补充函数在x=a处的定义，使其连续

6. 和 7.
斜率为0，切线平行x轴
斜率为∞，切线平行y轴
虽然计算上是这个结果，但从图像上看，为何在x>1时的斜率不是2？？
即切线有y=2x-1和x=1两个选择，到底是如何筛选的呢？？

5.
左右导数都不存在的情况，y = tanx已经解释了，即11楼的图像。