我想求环面上的积分
∫∫（x^2+y^2+z^2）dS.......[1]
S是环面(√(x^2+y^2)-R^2)^2+z^2=r^2
参数化
{
x=(R+cos𝝷)cos𝞅
y=(R+cos𝝷)sin𝞅
z=rsin𝝷
}
由于不会直接在直接坐标系下积分，我用 Mathematica的 3D表示（为了简便，取）
ParametricPlot3D[{(3 + Cos[v]) Sin[u], (3 + Cos[v]) Cos[u],
4 + Sin[v]}, {u, 0, 2 \[Pi]}, {v, 0, 2 Pi}, PlotStyle -> Green]
但是如何求解[1]中的曲面积分呢???

可以把xyz定义为Rθ𝞅的函数，代码：
x[a_, b_, R_] := (R + Cos[a]) Cos[b]
y[a_, b_, R_] := (R + Cos[a]) Sin[b]
z[a_, b_, R_] := r*Sin[a]
Integrate[x^2 + y^2 + z^2, {a, 0, 2 Pi}, {b, 0, Pi}, {R, 0, r}]
我解析几何学的不好（其实是很差…），这里的a就是θ，b就是𝞅，我不是很确定z那里的r应该是大写还是小写，而且这两个角度的范围你可能需要稍微看一下。

ParametricRegion应该是最简单直观的解决办法。
With[{R = 4, r = 1},
Integrate[
x^2 + y^2 + z^2, {x, y, z} \[Element]
ParametricRegion[{(R + Cos[a]) Cos[b], (R + Cos[a]) Sin[b], r Sin[a]}, {{a, 0, 2 \[Pi]}, {b, 0, 2 \[Pi]}}]]
]
要是不给定R和r的话...我这里反正一时半会儿是算不出来。

好吧直接解析也能求，下面这段代码跑了将近一个小时终于还是出来了
Integrate[x^2+y^2+z^2,{x,y,z}\[Element]ParametricRegion[{(R+Cos[a])Cos[b],(R+Cos[a])Sin[b],r Sin[a]},{{a,0,2\[Pi]},{b,0,2\[Pi]}}],Assumptions->R>r>0]
结果是一个非常长的分段函数，当r不等于1的时候会包含一大堆椭圆积分。
所以楼上的取值能很快算出来其实只是个巧合，把r换成2就要花上20多秒