开个帖子讲一下泰勒公式求极限阶数。

二楼

还得开个帖子说一下区间再现公式

前排

先讲极限的加法拆开。减法原理同加法。
这里x趋向a也可以改为x趋向无穷，或者改为单侧极限，不影响结论。
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f=g+h。
g的极限存在且为有限极限。
有限极限是指极限存在，但极限不是无穷大。
在上面的条件下，可以将极限按加法拆开。
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下面证明h极限存在是f极限存在的充分必要条件。
如图所示，使用加法减法的极限四则运算法则，得证。
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当f极限不存在时，h极限也必定不存在。同理，当h极限不存在时，f极限也必定不存在。用反证法易证。
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当f和h极限存在时，这个极限可以拆开。
而f和h极限不存在时，这个极限也可以这样拆开，因为我们最终通过h极限不存在，可以反推出f极限不存在。虽然我们拆错了，但是我们能得到原式极限不存在的结论。
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非零乘积因子中途代值。
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f=g*h
g的极限是非零有限极限。
在上面的条件下，可以将g的极限值直接代入，也就是所谓的部分极限式子中途代值。
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先用一下保号性，因为g的极限是非零有限极限，所以存在一个去心邻域，使得g大于0或者g小于0，在这个邻域内，g不等于0，所以g放在分母是有意义的，不会出现分母为零的情况。
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证明方法与加法类似。
我们证明h极限存在是f极限存在的充分必要条件。如图所示。极限是可以这样拆开的。
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顶！

非零乘积因子中途代值。
上面楼层讲了g在分子的情况，这个楼层讲g在分母的情况。
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f=h/g
g的极限是非零有限极限。
在上面的条件下，可以将g的极限值直接代入，也就是所谓的部分极限式子中途代值。
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证明方法与加法类似。
我们证明h极限存在是f极限存在的充分必要条件。如图所示。极限是可以这样拆开的。
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讲一下无穷小的相关概念。
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当x趋向无穷大时，1/x趋向0，写法要改一下，后面会有例子，新手建议换元t=1/x来处理x趋向无穷大。
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k大于0，此处k可以不是整数，k只要是正实数就可以。b和c是非零实数。
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波浪线是等价无穷大(小)的意思，在此处是等价无穷小。
小写的o()是高阶无穷小。
大写的O()是同阶无穷小。
f(x)和g(x)的无穷小阶数都是k。
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不是所有的无穷小都有阶数，像x趋向0时，xsin(1/x)就找不到k，使得他和x^k的比值极限为非零常数，所以xsin(1/x)没有无穷小的阶数。
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无穷小的运算。
o(1)表示无穷小。
本身o()就自带系数，也就是o(x^m)乘以任意非零实数，还是等于o(x^m)。
A和B是实数。一般情况下A和B都不等于0，否则都不是加法，这个式子的意义不大。
A和B的式子说明，(x-a)^n能吸收(x-a)^m，也就是同阶或高阶都能吸收，最终留下低阶的无穷小。
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泰勒公式展开的原则。
上下同阶，低阶全消，多退少补。
分式上下同阶原则，加减幂次最低原则。
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例题3，就是多退少补。一阶不够要补，五阶太多要退。
例题4，低阶全消，就是零阶常数项，一阶项系数，二阶项系数，三阶项系数都抵消变成零，也就是低阶全消。四阶项系数不是零，所以只需要展开到四阶，剩下的高阶全部放到o(x^4)里面。大于四阶，像五阶六阶就不需要展开了，放在o(x^4)里面。
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对于x趋向无穷大的，可以像第一图一样，对1/x进行泰勒展开。也可以像第二图一样，换元t=1/x，再在t=0处展开。
新手建议把趋向无穷大，换元改为趋向0，然后再泰勒展开。
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最经典的错误。
此题要求分子是x³的高阶无穷小，那么分子最高次是x²，那么将e^x展开到x，x²*x就是x³，然后比较系数，让常数项，x，x²，x³的系数为零。
这个错误的原因是，e^x和1相乘，省略的x²和x³立方项，并不是x³的高阶无穷小。而只有高阶无穷小才能省略，所以错误就产生了。
因为e^x和1相乘，所以e^x需要展开到x³，这样o(x³)*1=o(x³)。
而e^x和Bx相乘，这个e^x只需要展开到x²，这样o(x²)*Bx=o(x³)。
而e^x和Cx²相乘，这个e^x只需要展开到x，这样o(x)*Cx²=o(x³)。
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或者可以这样理解，o(x)乘以1是o(x)，o(x)除以x³的极限算不出来，所以就错了。而o(x³)除以x³的极限是零，所以展开到o(x³)是满足题意的。
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泰勒公式一定要自己动笔去写，多写才能熟悉。
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上下同阶。
分母是四阶，所以分子也展开到四阶。
将超过四阶的全部放到o(x^4)里面，不用写出来。
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红色的展开:
sinx和x是同阶无穷小，所以e^x需要展开到四阶，才能保证是o(x^4)。
红色下一行:
(sinx)^2，用一下完全平方公式，第三项超过四阶，直接省略不写。
(sinx)^3里面，如果sinx展开到三阶，剩下两个sinx至少一阶，相加是五阶，所以sinx在此处展开到一阶就够了。
同理，(sinx)^4里面的sinx只需要展开到一阶。
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蓝色的展开:
e^x-1和x是同阶无穷小，所以sinx需要展开到四阶，才能保证是o(x^4)。
蓝色下一行:
(e^x-1)^3里面，如果e^x-1展开到三阶，剩下两个e^x-1至少一阶，相加是五阶，所以e^x-1在此处展开到二阶就够了。
(e^x-1)^3，用一下和立方或差立方公式，第三项开始已经超过四阶，直接省略不写。
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此题分子分母的阶数均未知。
但是明显分子比较容易展开，容易确定阶数。
分子恒等变形，xsinx只有偶数阶，cos也只有偶数阶，所以分子只有偶数阶。
我们对分子不断尝试展开。
首先常数项显然是零。
然后我们展开到二阶，发现二阶系数还是零。
接着我们展开到四阶，我们发现系数已经非零，所以分子就是四阶。
外面还有一阶x相乘，所以根据上下同阶原则，分母需要展开到五阶。
sin(x+arctanx)最低一阶，所以根号需要展开到四阶。
根号最低阶是常数项，所以sin(x+arctanx)需要展开到五阶，所以x+arctanx也需要展开到五阶。
剩下n次方里面展开的阶数选择，参考上个楼层的讲解。
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