f[{y0_, y1_, y2_, y3_}] := {y0, y0 + y1, y2,
y2 + y3}.{{a00, a01, a02, a03}, {a10, a11, a12, a13}, {a20, a21,
a22, a23}, {a30, a31, a32, a33}}
(*上句是定义一个对四元数组的运算*)
B = Table[IntegerDigits[i, 2, 4], {i, 1, 15}]
(*上句是生成一个B矩阵，这个B矩阵里有15个元素，分别是（0,0,0,1）,(0,0,1,0),......,(1,1,1,1)*)
Do[NestList[f[B[[j]]], B[[j]], 2], {j, 1, 15}]
(*问题出在这行指令上：调用矩阵B中的元素参与运算，运行不出来，我又不知道该怎么处理*)

函数的用法要从帮助文档里去查，不要随便脑补语法。总之楼主你先把这帖看了：
https://tieba.baidu.com/p/5936400015