n枚硬币排在圆周上，每枚硬币正面朝上或反面朝上，且圆周不能旋转。允许如下操作：若相邻两枚硬币均是正面朝上或反面朝上，则可将它们都翻面。如果两种硬币的分布方式可以通过有限次操作从一种变为另一种，则认为两种分布等价。求：共有多少种不等价的分布?

题目有点意思啊。答案如下：
若n为奇数，则有2种
若n为偶数，则有n+1种

n为奇数时：存在2子相邻且同色，将所有同色相邻2子全变为黑色，则出现下列情况之一：（1）1个白子或者全是黑子；（2）k段黑子与k个白子间隔排列。若为后者，由于k段黑子不可能每段都为奇数（此时棋子总数为偶数），故存在偶数m个黑子的段，可将其全部变为白色并连同两侧2个白子全部变为m+2个黑子。这样的操作导致黑子增加不能无限进行，必然在只剩1个白子或全是黑子时终止。上述过程表明，黑白子数量的任何初始状态等价于1个白子或全是黑子。当只剩1个白子时，不妨设初始位置为1位，可变换2、3位的黑子为白子，再变换1、2位的白子为黑子，从而使1位的白子移动到3位，由于n为奇数，不难知道移动两圈以内就可将初始位置为1位的白子变换到任何位置。这表明，当只有1个白子时，任何初始位置的状态等价。综上，共计2种等效状态。
n为偶数时，类似的思路可知，棋子数量的等效状态必然为下列情况之一：（1）全是黑色；（2）k段黑子与k个白子间隔排列，且每段黑子的数量均为奇数。若为后者，则白子数可取1到n/2；注意到由于n为偶数，故位置变换时，任何1个白子只能在同奇偶性的位置上变换，故每种数量等效状态有2种位置等效状态，故n/2种数量等效状态有n种数量位置都等效的状态。综合两种情况，共计n+1种等效状态。

这里放个n为奇数时的证明，对于奇数的情形：
显然无论怎么翻转，正面向上硬币的数量奇偶性都不会改变，而正面向上硬币可能是奇数，也可能是偶数，所以最少有两种不等价的分布。
接下来证明恰好也只有两种
考虑特殊的情形，显然全部正面向上和全部反面向上是两种完全不等价的分布，所以我们只要证明，偶数个反面向上硬币都可以变为全部正面向上的硬币，以及偶数个正面向上硬币都可以变为反面向上的硬币也就完事了。
由于这两种情形是相似的，所以我们只证明偶数个反面向上硬币都可以变为全部正面向上的硬币这一种情形。
对于一个给定的偶数个反面向上的硬币分布，我们选择中间间隔偶数个正面硬币的两枚反面向上硬币（当然这里我们假定偶数可以等于0,这样两枚反面向上硬币就相当于没间隔），显然，像是反正正正正反这样的情形，我们总可以变为正正正正正正全部向上的情形，不断重复这样的操作就可以全部变为正面向上的硬币了。
（注意：这里的中间间隔偶数个正面硬币的两枚反面向上的硬币总是可以找得到的，因为如果不存在这样的两枚反面向上硬币的话，那么间隔数大小全是奇数，而这样的间隔数的数量有偶数个，偶数*奇数=偶数，这说明有偶数个硬币，这与题设为奇数矛盾）

奇数就不谈了，偶数最简洁的结论：
若n为偶数，把每个位置从1-n编号，统计编号为奇数的位置上正面的硬币数记为x，偶数位置上正面的硬币数记为y。记p=x-y，则每个不同的p值恰为一个等价类。显然p的取值共有n+1种，因此有n+1个等价类。
这个结论的证明也很简单，就不写了。