最近开始做一些考研题目，会把一些题目记录在这里

注：本帖不是为了写解答，而且以我的水平也写不了解答，只是为了记录之用。
有错误欢迎指出，由于本次考试范围是数分数项级数止，高代线性变换止，解几大一上结束，所以和考试范围相差过大的题（如多元微积分）是不做的。

这些都是要证的吗

前两个能用反证法么

2009高代几何
1.解：“极大线性无关部分组唯一”的充要条件是全部的非零向量线性无关。
证明：一方面，如果全部非零向量线性无关，容易看出全部非零向量构成极大线性无关组（因为其它向量都是零向量）。而任何极大线性无关部分组之间不能有包含关系，且极大线性无关部分组不能有零向量，所以极大线性无关部分组是唯一的

另一方面，如果存在一些非零向量线性相关，那么任何极大线性无关组都是非零向量集的真子集，故我们可以先任取一个极大线性无关组，然后选取一个不在这个极大线性无关组的非零向量，将其扩充成另一个极大线性无关组。显然这个新的极大线性无关组与原极大线性无关组不同，这表明极大线性无关组不唯一

2.证明：
由于x-a整除f(x)-f(a)，(x-a)²整除f'(x)，所以(x-a)³整除f(x)-f(a)。
设degf=n，f(x)=0的全部根为x(1),x(2),...,x(n)，其中x(1)≤x(2)≤...≤x(n)。约定x(0)=-∞,x(n+1)=+∞.
对k=1,2,...,n-1：
当x(k)<x(k+1)时，由罗尔中值定理，存在y(k)∈(x(k),x(k+1))，使得y(k)是f'(x)=0的根.
当x(k-1)<x(k)=x(k+1)=...=x(k+t-1)<x(k+t)时，由于x(k)是f(x)=0的t重根，故y(k)=y(k+1)=...=y(k+t-2)=x(k)均是f'(x)=0的t-1重根。
如此定义下的y(1),y(2),...,y(n-1)构成f'(x)=0的n-1个根.
假设a不是f(x)=0的根：
①a<x(1)或a>x(n)。由于x(1)≤y(1),y(2),...,y(n-1)≤x(n)，而a是f'(x)=0的至少二重根，故f'(x)=0有n+1个根，矛盾；
②对某个k有x(k)<a<x(k+1)。这表明f'(x)=0在区间(x(k),x(k+1))上有2个根。注意在刚刚的估计中，我们对于每个(x(k),x(k+1))，只得到了f'(x)上有1个根的结果，在此基础上我们得到f'(x)=0有n-1个根。现在如果对于某个区间(x(k),x(k+1))，我们可以证明f'(x)=0在此区间上有两个根，那么结合之前在其它区间上和重根处的结果，我们就能得到f'(x)=0有n个根，但degf'=n-1，矛盾。
综合上述论证，a是f(x)=0的根

3.证明：显然，对于两个行列数相等的实对称矩阵，其合同的充要条件是正负惯性指数均相等。
而我们容易证明，diag{A,B}的正（负）惯性指数等于A和B的正（负）惯性指数之和。所以由条件得到S1和S2的正负惯性指数均相等，所以S1，S2一定合同，证毕

4.解：
由2(x²+y²+z²-xy-yz-zx)=(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²=14
知x²+y²+z²-xy-yz-zx=7
所以4=(x+y+z)²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx=7
+3
(xy+yz+zx).
即xy+yz+zx=-1.

而-xyz=xyz(xy+yz+zx)=x²y²z+x²yz²+xy²z²=2

所以xyz=-2

利用x\\\\\+y\\\\\\\\\+z\\\\\\\\\\\\=2，x\\\\\\\\\y+y\\\\\\\\\z+\\\\\\\\z\\\\\\\\\\x=-1，x\\\\\\\\\\\y\\\\\\\\\z=-2得
{x,y,z}={-1,1,2}.
5.证明：设B=A-A'
在AA'=A²中取转置，得AA'=(A')².
而BB'=(A-A')(A'-A)=AA'-(A')²-A²+A'A=A'A-AA'
所以tr(B'B)=tr(BB')=tr(A'A-AA')=tr(A'A)-tr(AA')=0.
设B的n个列向量为β1，β2，...，βn.
则B'B的(i,j)元为(βi)'βj，特别地，(i,i)元为(βi)'βi≥0.
但0=tr(B'B)=(β1)'β1+(β2)'β2+...+(βn)'βn≥0，所以(βi)'βi=0对每个i成立，即βi=0，i=1,2,...,n.
这表明B=0。而B=A-A'，所以A=A'，命题得证.