柯西准则
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高等数学同济大学第七版
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下面再来一本数学系的教材，里面级数相关的判别法更全面，例题也更多。
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数学分析教程（伍胜健）

幂级数的收敛域、收敛区间与收敛半径
收敛域：所有收敛点构成的集合。
收敛域是在收敛区间的基础上,考虑端点是否也收敛,最后可能是开区间,可能是闭区间,也可能是半开半闭区间.
对于边界需要特别代入到幂级数化为常数项级数进行判断。
收敛区间：(a-R,a+R)
收敛区间是个开区间。
收敛半径：
收敛半径R是一个非负的实数或无穷大的数，使得在 |x-a| < R 时幂级数收敛，在 |x-a| > R 时幂级数发散。
注：一个幂级数的收敛半径总是存在。发散级数收敛半径为0，通俗说来就是找不到收敛的地方。

为什么条件收敛就是端点？
答：
根据阿贝尔定理的级数判定方法，
在收敛域(不含端点)内，级数绝对收敛。
在收敛域外(不含端点)，级数发散。
对于条件收敛的级数。
因为不发散，所以不在收敛域外。
因为不绝对收敛，所以不在收敛域内。
所以只有端点才有可能条件收敛。
(注：我们这里只讨论实数域。)

级数可讲的太多了，，，

考虑到大家的知识掌握程度不同，这里列一列级数相关的名词和概念。
列出一些相关名词和概念：
详细的定义和内容，请去4楼看教材，或者自行搜索。
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数项级数，简称级数。
通项。
部分和。
级数收敛。
级数发散。
等比级数，又称几何级数。
改变级数有限项的值后，级数的敛散性不变。所以有些题目可以无视最前面的项，只考虑后面项的敛散性。
调和级数。
级数收敛，则他的通项极限是0。这点在判断级数敛散性，数列收敛性时，都可能会用到。
正项级数(通项非负)。其实纯负(通项非正)的级数，提取负一之后就转为正项级数了。
绝对收敛。
条件收敛。
p级数。
比较判别法。比较判别法的极限形式。
达朗贝尔判别法。又称比值判别法，比值审敛法，比式判别法。
柯西判别法。又称根值判别法，根值审敛法，根式判别法。
积分判别法。又称柯西积分判别法。
拉贝判别法。
对数判别法。(这个自行百度。)
交错级数。奇数项非负，偶数项非正；或者奇数项非正，偶数项非负。
莱布尼兹判别法。莱布尼兹交错级数判别法。
莱布尼兹交错级数。
狄利克雷判别法。
阿贝尔判别法。
绝对收敛的级数，可以任意重排，重排后仍然绝对收敛。条件收敛没有这个性质。
级数的乘法(分配律)。乘积矩阵。
函数项级数。
收敛点。
收敛域。
和函数。
幂级数。
柯西--哈达玛定理。根值极限求收敛半径。
比值极限求收敛半径。
阿贝尔定理。
幂级数逐项积分后，收敛半径不变。端点处可能改变敛散性。
幂级数逐项求导后，收敛半径不变。端点处可能改变敛散性。
泰勒级数。
麦克劳林级数。
傅里叶级数。
正弦级数。
余弦级数。

非数学专业常考的题型:
1. 判定级数的收敛性。
2. 求幂级数的收敛域和收敛半径。
3. 把函数展开为幂级数。
4. 求幂级数的和函数。
5. 特殊的常数项级数的求和。
6. 把函数展开成傅立叶级数，正弦级数，余弦级数。
7. 狄利克雷定理

关于幂级数逐项求导与逐项积分收敛区间不变，但收敛域的变化有什么规律?
答：设幂级数逐项求导的收敛域为I1，原幂级数收敛域为I2，幂级数逐项积分的收敛域为I3，则I1< I2<I3,
即幂级数逐项求导在端点（此处端点可分单侧和双侧两种，各针对这两种情况）处收敛，则原幂级数和幂级数逐项积分在端点处一定收敛，
幂级数逐项积分在端点处发散，那么原幂级数和幂级数逐项求导在端点处一定发散。
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幂级数逐项积分在端点处收敛，那么原幂级数和幂级数逐项求导在端点处可能收敛也可能发散，
幂级数逐项求导在端点处发散，那么原幂级数和幂级数逐项积分在端点处可能收敛也可能发散。

“泰勒级数”与“泰勒展开式”是一个概念吗?
答：不是，前者是要满足三个条件的后者，一是级数在展开点x0的某个领域内的任意一点的和的函数值S(x)必须等于这个函数f(x)在该点处的函数值，二是余项的极限要为零，三是级数在展开点的某个领域内的任意一点必须收敛。

前排
，会火

这个楼层的楼中楼会放链接，链接点进去可以找到很多信息:
常用的幂级数展开式和幂级数和函数。
还会有级数的其他知识。

感谢。收藏了