第65题 如图 感激不尽

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证明：
1.
f '(x) = 1/(1+x^2)
(1+x^2) * f '(x) = 1
上式两边对x 求n阶导数，并利用二项式公式， 有
(1+x^2) * f （n+1) (x) + n * 2x * f （n) (x) + [ n(n-1)/2] * 2 * f （n-1) (x) = 0
(1+x^2) * f （n+1) (x) + 2n * x * f （n) (x) + n(n-1 ） * f （n-1) (x) = 0
2.
将 x = 0 代入上式， 有
(1+0^2) * f （n+1) (0) + 2n * 0* f （n) （0) + [ n(n-1） * f （n-1) (0) = 0
f （n+1) (0) = - n(n-1 ） * f （n-1) (0)
即
f （n) (0) = - (n-1)(n-2 ） * f （n-2) (0)
又
f (0) = arctan(0) = 0
f '(0) = 1/(1+0^2) = 1 ,
故
f "(0) = - 1 * 0 * f(0) = 0
f '"(0) = - 2 * 1 * f ' (0) = - 2 = (-1) * 2!
f ""(0) = - 3 * 2 * f '' (0) = 0
f(5)(0) = - 4 * 3 * f ''' (0) = 4*3*2 = 4!
f(6)(0) = - 4 * 3 * f ''' (0) = 0
f(7)(0) = - 6 * 5* f "" (0) = - 6!
由数学归纳法，有
f(2n)(0) = 0
f(2n-1) (0) = (-1)^(n-1) * (2n-2)!