r1 = 1/2 (Cos[x] + Cos[y])
r2 = Cos[x]*Cos[y]
a = 2*(j1 - j2 + j2*r2 - j1*r1)*z*sa + d1*(2*sa - 1) + jz*sb
b = 2*(j3 - j4 + j4*r2 - j3*r1)*z*sb + d2*(2*sb - 1) + jz*sa
c = jz*Sqrt[sa*sb]
w1 = (a - b + Sqrt[(a + b)^2 - 4*c^2])/2
w2 = (-a + b + Sqrt[(a + b)^2 - 4*c^2])/2
q1 = w1/(Exp[w1/t] - 1)
q2 = w2/(Exp[w2/t] - 1)
Integrate[q1 + q2, {x, -Pi, Pi}, {y, -Pi, Pi}]
除x，y，其他当成常量，求救啊！~

太难了，算不出来

……在压根搞不清积分有没有符号解的情况下就跑去积这么复杂的、含有大量字母参量（而且你还没设清楚范围）的表达式基本就是自杀行为。何况这种指数上套根号加三角的表达式多半就是积不出来，如果还不死心，可以给参量代组数值进去：
test = q1 + q2 /. d1 | d2 | jz | j1 | j2 | j3 | z | j4 | sa | sb | t -> 1
Integrate[test /. y -> 0, {x, -Pi, Pi}] // AbsoluteTiming
这次30来秒就原样返回了嗯。

仔细一看Lz已经在别处转战数值解了：https://mmaqa.com/qa/2503/nintegrate-inumri
并且看样子这积分本身就有问题嗯。