(a)F_n(x)的严格递增已经证明了 , 那 F_n(αn)=0 是否存在,我的想法是
证明F_n(α) * F_n(β) < 0 , α <αn < β. 但是不知道怎么写 .

吃饱饭没事干， 再写几步吧。
（b ）
因为
Fn-1( x ) - Fn(x) = f(n-1) - f(n-2) + ( n-1, n ) ∫ 1 / [ t^2 * f(t) ] * dt , ( > 0 )
故 Fn(x) 随着 n 的增大而严格单调增大。

吃饱饭没事干， 再写几步吧。
（b ）
因为
Fn-1( x ) - Fn(x) = f(n-1) - f(n-2) + ( n-1, n ) ∫ 1 / [ t^2 * f(t) ] * dt , ( > 0 )
故 Fn(x) 随着 n 的增大而严格单调减小。
又
Fn(x) = f(x) - f(n-1) - ( x, n ) ∫ 1 / [ t^2 * f(t) ] * dt
> f(x) - e - ( x, n ) ∫ 1 / [ t^2 * 1] * dt = f(x) - e + [ 1/n - 1/x ] > f(x) - e + [ 0 - 1/x ]
即 Fn(x) 有下限。
因为 Fn(x) 随着 n 的增大而严格单调减少且有下界， 故 数列 { Fn(x) } 有极限，
即 lim { Fn(x) } 存在

把你的α取n-1，β取n