貌似发现一个小东西 - 数学吧

level 12

冬夏秋雪莲楼主

一个过原点的抛物线，取其焦点所在坐标轴上一点作抛物线的切线，则切点和该点横坐标相反
求大佬们证真伪 [乖]

防水

2018年03月23日 02点03分 1

level 12

aMastiff

应该是
正确的

2018年03月23日 02点03分 2

冬夏秋雪莲

可以证明吗

2018年03月23日 03点03分

aMastiff

y²=2px,假设x轴上取的那一点坐标为a，则a≤0，a=0就不考虑了，设切点坐标为（m，n），切线方程为x=ky+a，所以y²=2pky+2pa，Δ=0，得pk²=-2a，且努力n=pk（）

2018年03月23日 03点03分

aMastiff

推出m=n²/2p=p²k²/2p=pk²/2=-a。

2018年03月23日 03点03分

冬夏秋雪莲

@aMastiff ok，谢谢大佬 [太开心]

2018年03月23日 03点03分

level 12

aMastiff

不过照片上的证明题假的吧，x＞lnx啊

2018年03月23日 03点03分 3

冬夏秋雪莲

我的错= =那个y其实是个常量。如果看着不顺眼，请在2x-lnx后面补个+a或者+m之类的就好

2018年03月23日 03点03分

aMastiff

x1是任意一个吗，还是小的那个

2018年03月23日 03点03分

冬夏秋雪莲

@aMastiff 任意的

2018年03月23日 03点03分

吧务

level 13

斯普林格拉斯

真的

2018年03月23日 04点03分 4

冬夏秋雪莲

驿外大佬来秒题

2018年03月23日 05点03分

level 12

aMastiff

我发不了图片，把思路说一下吧，不会标下标，用α＜β分别代表两个解，不等式左边α²-α-lnα=α²-3α+2α-lnα=α²-3α+y=α（α-3）+y=y-αβ。

2018年03月23日 07点03分 5

level 12

aMastiff

且y=2α-lnα,y=2β-lnβ,两式相加得2y=2*3-ln（αβ），则y=3-ln（αβ）/2，令t=αβ，则不等式变为¼＞t+½lnt+ln2，右边是个增函数，所以我们需证t＜¼。

2018年03月23日 07点03分 6

level 12

aMastiff

把上面的两式相减得2（β-α）=ln（β/α）即2（3-2α）=ln〔（3-α）/α〕=ln（3-α）-lnα。所以4α+ln（3-α）-lnα-6=0，我们把左边设成函数求导。

2018年03月23日 07点03分 7

level 12

aMastiff

不，好像并不需要求导，忽略上面的，下面来证α＜1.5-√2。若α=1.5-√2，则β=1.5+√2，拿那两个式子相减得4√2-2ln（3+2√2），都提出2变为2√2-ln（3+2√2），3+2√2＜6＜6.25＜e²，而2√2＞2，上式＞0，说明右边比左边高，对题目中的函数数形结合分析得α＜1.5-√2，所以t=α（3-α），配方可证t＜¼，证毕。

2018年03月23日 07点03分 8

冬夏秋雪莲

哇大佬大学了吗？我现在看看你的过程

2018年03月23日 09点03分

冬夏秋雪莲