实变函数坑题整理
m_5286吧
全部回复
仅看楼主
level 12
御坂5286⚡ 楼主
先挖坑放在这，题目选自周民强的书，下学期不间断更新...
讲真第一章就有很多坑了，当然Rudin的更坑[不高兴]
2018年02月28日 13点02分 1
level 12
御坂5286⚡ 楼主
***不间断[喷]
是“很间断”更新
2018年02月28日 13点02分 2
神琦冰河
狄利克雷函数的那种间断[滑稽]
2018年02月28日 15点02分
level 12
御坂5286⚡ 楼主
1.Does there exist an infinite sigma-algebra which has only countably many members?
2018年03月05日 14点03分 3
御坂5286⚡
答案是没有，证明见下
2018年03月05日 15点03分
Altair✨
[滑稽]至少是它的幂集的基数那么多
2018年03月06日 09点03分
level 12
御坂5286⚡ 楼主
1.horrible[不高兴]
2018年03月05日 15点03分 5
Altair✨
你的交的符号不是用的\bigcap ？
2018年03月06日 09点03分
御坂5286⚡
回复 Altair✨ ：行内没有用这个
2018年03月06日 09点03分
Altair✨
回复 御坂5286⚡ :为啥
2018年03月06日 10点03分
御坂5286⚡
回复 Altair✨ :行内用不好看呀
2018年03月06日 10点03分
level 12
御坂5286⚡ 楼主
2.不直接使用Beppo Levi非负渐升列积分定理证明Fatou引理
2018年03月05日 16点03分 6
御坂5286⚡
其实还是用到了，Lebesgue单调收敛定理就是Levi定理。
2018年03月07日 04点03分
level 12
御坂5286⚡ 楼主
其实现在看Rudin更多，周民强已经暂时搁置了[滑稽]
2018年03月05日 16点03分 7
level 12
御坂5286⚡ 楼主
3.
2018年03月06日 11点03分 8
level 12
御坂5286⚡ 楼主
4.R^n子集E中每点都是E的孤立点，则E为某开集和闭集的交集。
2018年03月07日 04点03分 9
御坂5286⚡
E=E闭包 交 E导集的补集
2018年03月07日 04点03分
level 12
御坂5286⚡ 楼主
5.
2018年03月07日 13点03分 10
御坂5286⚡
其实这完全是个数分题
2018年03月07日 13点03分
Altair✨
这个很出名的对角线法
2018年03月14日 08点03分
level 12
御坂5286⚡ 楼主
6.不存在R上的连续函数f，它在无理数集上是一一的，但在有理数上不是。
2018年03月09日 01点03分 11
御坂5286⚡
@神奇的天璐 你说的对，我现在再看一遍，感觉我当时应该是想表达f([c,d])是闭区间后，f(x)在两个端点处相等且f连续，由介值定理能推出这个和“在无理数上一一”是矛盾的。不过现在看好像有点不严谨（直观上好像还行）？现在我看一下也觉得大概应该用无理数的性质来做比较直接。感谢你指出[太开心]
2020年05月22日 18点05分
御坂5286⚡
反证法。假定存在，取两个有理数a、b，f(a)=f(b)=l，作点集E={x|f(x)=l且x在[a,b]中}。易知存在[a,b]的子集(c,d) s.t. f(c)=f(d)=l，且(c,d)和E无交，这导致f(x)>l（或小于l），但是f([c,d])是闭区间，矛盾！
2018年03月09日 01点03分
神奇的天璐
@御坂5286⚡ 楼主能说下值域是闭区间和f(x) >=l, x \in (c, d) 哪矛盾了吗？我证这题有用到无理数不可列的性质，看你的证明过程没有用到所以比较好奇
2020年05月22日 15点05分
xidianqiaolei
我感觉直观上也不行，定义在无理数的部分是一一 的，没有说无理数映射到无理数，应该不可以吧，我试着写了好久没搞出来，，，，可能是我理解错你意思了
2020年09月26日 08点09分
level 12
御坂5286⚡ 楼主
7.Borel集合均可测，反之不然
2018年03月11日 11点03分 12
御坂5286⚡
前半部分显然。后半部分说一下证明梗概。下面记Contor集为C，m(C)=0.
2018年03月11日 11点03分
御坂5286⚡
R^n具有可数基，由全体Borel集构成的族为其生成的一个sigma-代数，可证明它具有连续统势c。由Lebesgue外测度的定义可说明任意C的子集可测，所以由2^c>c，存在大量的C的子集不是Borel集。
2018年03月11日 11点03分
御坂5286⚡
构造出这个具体的实例很难，需要Cantor函数，参见周民强
2018年03月11日 11点03分
level 12
御坂5286⚡ 楼主
8.说明不可测集的存在性。（不可测集可由选择公理给出）
P.S. 只需证明定理：对R^1的子集A，若它每个子集都Lebesgue可测，则m(A)=0.
这样可以有推论：任意正测度集都有不可测子集。下证上面的定理
2018年03月11日 11点03分 13
御坂5286⚡
利用实数加群的性质。记Q为R子群（由实数构成），作集合E：它的每个元素都恰为每一个R中Q的陪集中的一个（注：即仿选择公理那样的取法）。可证明：1.任意Q中不同元素r，s，有(E+r)和(E+s)无交；2.任意R中元素x，存在Q中元素r，使x落在E+r中。
2018年03月11日 11点03分
御坂5286⚡
最后，上2说明A=⋃At，t取遍Q，而由于Q可数，故m(A)=0。
2018年03月11日 12点03分
御坂5286⚡
注意：这个子群Q取的是可数的。
2018年03月11日 12点03分
level 12
御坂5286⚡ 楼主
9.R为无限闭集，存在F的可数子集E，使得E闭包=F
2018年03月12日 10点03分 14
level 12
御坂5286⚡ 楼主
10.设{fn(x)}为R上非负渐降连续函数列，在某有界闭集F上趋于0，则它在F上一致收敛于0
2018年03月12日 11点03分 15
Altair✨
这不就是Dini判别法
2018年03月14日 08点03分
御坂5286⚡
回复 Altair✨ ：是
2018年03月14日 08点03分
level 12
御坂5286⚡ 楼主
11.R^n中闭集列{Fk}，且R^n=\bigcup_{k遍历正整数} Fk，则\bigcup_{k遍历正整数} （Fk的内核）在R^n中稠密
2018年03月12日 11点03分 16
1