存在p^i(i=0,1,2……)的正规群列

只写一下证明梗概。

p是素数。那么阶为p^a的群G存在p^i阶子群Hi满足H0,H1,...,Ha=G为正规群列。(Galois)

先证明一个引理:如果群G为p^a阶群，p为素数，那么群G的中心Z(G)有非平凡的子群{e}.
考虑G作用于G，g*x:=gxg^(-1).
Fix(G)=Z(G).那么
|G|≡Fix(G)(mod p).
如果Fix(G)是1就会矛盾。

现在证原命题。
使用数学归纳法。可以知道，a=1时命题显然。假设小于a的任何值命题都成立。现在来看看a的情形。
记Z(G)的阶为p^b,那么存在g,g的阶为p^b，记h=g^(p^(b-1)),则h^p=e.
H:=<h>.
那么H是p阶子群，H≤Z(G),故H在G中正规。
那么G/H构成一群。根据归纳假设可以知道G/H存在一个正规群列且阶为p^i(i=0,……,a-1).
设σ是G到G/H的同构，σ(g)=gH,则ker(σ)=H,根据同构定理知存在群列H=H1≤H2≤H3≤……≤Ha=G是正规群列。那么记H0={e}，命题得证。

结束