RT

考虑方程组x'(t)=A(t)x(t),其中A(t)是一个周期矩阵，周期T为正，A(t)=A(t+T)对任意实数t成立。

设x'=A(t)x的基解矩阵为Φ(t).A的周期为T。
设Φ(T)=exp(BT).
s(t)=Φ(t)exp(-Bt).
则(s(t)y)'=s'(t)y+s(t)y',
s'(t)=Φ'(t)exp(-Bt)-Φ(t) B exp(-Bt).
原方程变为
(Φ'(t)exp(-Bt)-Φ(t) B exp(-Bt))y+s(t)y'=A(t)s(t)y
变形为y'=By
易证Φ^2(T)=Φ(2T),
可得s(t)=s(t+2T).

利用了矩阵B与其exp可交换。