请原谅我用这种标题，通解的问题真的很困扰我，拜托高手解惑，感谢！
请先看这个问题
这是某考研视频的例题，题不难，但是涉及到一些概念问题，需要大家帮帮忙，因为另外一个考研视频的说法和这个不一样
问题一：我们用讨论除过去的部分是否为0吗？
在求通解的过程中，必然会有这一步
那么问题来了，要不要讨论y=1或者y=-1呢，有的老师说，必须要考虑除过去的东西可能为0的情况，有的则说，通解不是全部解，不用考虑
我这个视频的老师，用定义来解释这个问题，因为通解定义为“解中所含独立常数的个数等于方程的阶数”
该微分方程的解为
1个常数，原题方程是1阶，于是所求为通解，不用考虑y是否等于1或者-1
谁说的对呢？？
问题二：解答过程中遇到ln了，要加绝对值吗？
还是上面那道题，解答过程中你会有这步
出现ln了，当然，图里的解答过程中是用了绝对值的了
不过，如果你在解答过程中不用绝对值，会发现结果还是一样的
那么到底用不用加绝对值呢？
这个视频的老师，再针对ln是否加绝对值时，是这么回答的：
你在之后的解题中会出现这一步
如果你一开始没有绝对值，那么最后就得不出"正负C1的平方"，那么你在最后的答案的C里面，将会没有负数，意味着你丢了一半的阶，所以解题过程中必须有绝对值！
但是！！！
我的问题来了，这说法和“问题一”中的说法矛盾啊！
让我们回忆一下，问题一针对是，要不要讨论除过去的东西是否为零，具体到这个问题就是”是否讨论y=1或者-1“
而这个老师的结论是不用考虑，理由是通解不是全部解，通解的定义是”解中所含独立常数的个数等于方程的阶数“
那么如果把这个结论套用到问题二，我在解答过程中就不用考虑绝对值的问题，因为丢了负数又如何呢，我求得是通解，而且最后我的答案和加了绝对值是一样的，所含一个独立常数，等于问题阶数也就是一阶，虽然我丢了一半的解，但是！我的通解符合定义，也是
正确的
啊
那么为什么还要我在解题过程中加绝对值呢？？反正我求的是通解不是全部解啊！
这就是我的两个问题，很长，问得很细，不知到有没有朋友肯看到最后，我真的很迷惑，拜托为我解惑，感谢！！

除的时候加上一句“当y^2≠1时”；求通解的过程中如果出现了不能判断正负性的情况必须有绝对值，除非，你再加上一句“当......>0时”。

我来装B回答你的非常细致的问题。 如果我来解答的话， 我会这样做：
解：
原方程可以化为
y ' = ( 1- y^2) *tanx
1) 若 1- y^2 ≠ 0, 则有
dy / ( 1- y^2) = tanx * dx
ln / [ (1+y)/(1-y) ] / = ln [(cosx)^(-2) ] + ln C1
/ [ (1+y)/(1-y) ] / = C1 / (cosx)^2
(1+y)/(1-y) = C / (cosx)^2
故微分方程的通解为
y = [ C - (cosx)^2] / [ C + (cosx)^2]
2） 若 1- y^2 = 0, 则有
y = 1 或 y = -1
y = -1 显然是 C = 0 时的特解，
故微分方程有 “奇异解” y = 1
完毕

对于积分时出现绝对值， 我的做法是：
1. 有绝对值的话一定加上， 一个不能少
2. 然后想办法去掉绝对值。
例如， 本题中， 积分的基本步骤是：
∫ [ 1/(1-y) + 1/(1+y) ] dy = 2 ∫ sinx/ cosx )dx
- ln[/1-y)/] + ln [ /1+y/ ] dy = - 2 ln [ / cosx / ] + ln C1
/ [(1+y)/ ( 1-y)] / = C1 / ( /cosx/ )^2 = C1 / ( cosx)^2
(1+y) / ( 1-y)= C / (cosx )^2
( C = ± C1 )

绝对值必须加，否则， 你有 70% 的可能将函数的定义域丢失去一半
先加绝对值，再化简去掉绝对值（如果可能的话）

虽然不太明白，。。但看完了，觉得很有道理。。

张宇？

在线性系统里，通解就是全部解。非线性系统里，也只会让求通解，通解不是全部解，让求通解就求通解，丢解不丢分。

通解不是全部解，不用考虑分母为0，分母为0可以得到奇解。

各位看一看我的解法有什么问题？
y'=(1-y²)tanx
dy/dx=(1-y²)tanx
dy/(1-y²)= tanx dx
1/2 ∫ 1/(y-1)▬1/(y+1) dy=∫ ─tanx dx
1/2* ln(y-1)▬1/2*ln(y+1)=lncosx+lnc
✔(y-1)/✔y+1)
─────────
C*cosx
(y-1)
─── =C*(cosx)²
(y+1)

最后感觉还是要写上不包含通解中的特解较好，写完通解后，再写上还有解。。。。，因为有时特解是很重要的解，有重要的实际意义