今天早上发过, 不直到是不是被删来题: x为正整数, 试证 3x^4 + 3x^2 + 1 不是平方数

3x^4
+3
x^2+1不能转换成完全平方式

我是Zereta.为书写简便,只做简略证明.3x^4+3x^2+1=[3(2x^2+1)^2+1]/4如果它是完全平方数,那么[3(2x^2+1)^2+1]/4=k^2得3*(2x^2+1)^2=4k^2-1=(2k-1)(2k+1)于是,要么2k-1和2k+1有相同非1因子(此因子为(2x^2+1)的因子),要么2k-1或者2k+1中某一个为完全平方数(且此完全平方数无因子3),另一个为3,前者显然不可能,因为2k+1与2k-1两者之差也应该有此因子,然而它们的差为2.后者如若2k-1=3,于是k=2,2k+1=5不是完全平方数;如若2k+1=3,则k=1,2k-1=1是完全平方数但此时2k-1=(2x^2+1)^2,求得x=0不是正整数.

要么2k-1或者2k+1中某一个为完全平方数(且此完全平方数无因子3),另一个为3,I don't think that's truee.g. let k = 13.2k + 1 = 27 = 3 x 3^22k - 1 = 25 = 5^2and in the solution you never used used the fact that x^2 is in LS. If the question was to prove "3y^2 + 3y + 1 is never a square for y>0", then this arguement would still work, but the new statment is not true, (e.g. y=7 gives a square)

sorry,抱歉做错了.不过我不愿意用非汉语的语言交流,谢谢

偶数的平方一定能被4整除奇数的平方除以8余1分别以X为偶数和奇数两种情况分析得出的结论肯定为式子除以8不为1

很多中文数学的名词我都不懂, 而且中文又打得慢, 所以索性打英文, 不好意思会6楼, 3x^4 + 3x^2 + 1 = y^2明显的 y 是奇数那麼右边除8馀1所以左边 8|3x^4 + 3x^2所以 8|x^4 +x^2所以 8|x^2(x^2+1)由於平方数除4 只可以馀0or馀1所以x^2 一定要被8整除那麼就是x一定要被4整除但做到这里还没得到contradiction...这题我已经想了很久, 也问过好几个有份量的人, 但还没找到答案 >.<

新贴太多被挤出去了自己推自己的贴上去可以吗?

我一直在考虑,因为始终没做出来,不好意思.我猜测这道题要用到数论的知识,而我对这方面一窍不通.目前我得到的结论是,x为形如40m或者40m±8的数;得到的完全平方数的根k则形如10n+1只有这样.

狂人,我帮你问问我老师,她数论超强我的看法是"3x^4+3x^2+1不能转换成完全平方式"就已经足够证明了,你说如何?

由於平方数除4 只可以馀0or馀1对于1^2来说是错误的

Zoreta, 别说不好意思, 大家讨论嘛, 我也不会做才把题贴出来的 :)ljh: 我想不然. 如果能转换成完全平方式, 那麼就有无限个x 使得 f(x) 是平方数了, 而我们现在只须一个 (或者证明没有这样的x). 例如, x^2 + 13 不能换成完全平方式, 但当x = 6 的时候结果还是平方数继续想......................

对了,没想到....

mod8知3a^2-b^2=-2无解，
无穷递降知3a^2-b^2=2正整数解只有(1,1)。