一楼喂百度

然而我毫无思路@那日蓝天 你起个头，剩下的我接

欧拉公式

草稿:
复变函数从概念上理解是很简单的:一个普通的实变函数，例如f(x)=x²，如果想将其与复数联系起来，最自然的方法是直接将其中的“x”换成“z”，其中，z=a+bi，得到f(z)=z² ，但稍微想想，这种函数与普通的n元函数大有不同:普通的n元函数是将n维空间中的点映射成一个数，因此我们就可以构造一个n+1维的空间去描绘相应的函数图像，而我们构造出的w=f(z)自变量需要两个独立的实数表达，因变量同样需要两个独立实数！也就是说，复变函数w=f(z)是两个复平面之间的映射，是平面与平面上点的一一对应。而且深入一点就能发现，对于一类称为解析函数的复变函数，映射f(z)能使z平面上的图形夹角在变换到w平面时保持不变，即保角变换。这表明解析函数具有优良的拓扑性质。
现在我们提到了一个概念，叫解析函数，据说它具有优良的函数性质，那么何谓优良呢？首先我们需要穷尽所以可能表达复变函数的方式，即:
\w=u(x，y)+iv(x，y)\
其中，u，v都是任意的二元函数，但这种表达里含有实数x，y，而复变函数最自然的方式当然是整个表达式里只有复数，于是我们引入共轭复数:
\z*=x-iy
(z=x+iy)
∴......
\
这样，任意复变函数都可以化成上面那样。现在，我们从复变函数与实变函数对称性的角度考虑，那么共轭复数z*就是一个不和谐的存在。如果z*不存在，那么实变复变就可以自然地相互转化，即只需将实变量x与复变量z简单地互换。具有这种对称性的复变函数无疑具有优良性质，我们把这一类函数称为解析函数。(个人视角，一般书上是从复变函数可导的角度出发，导出C-R条件，进而引入解析函数的概念)
由于不显含z*，解析函数必满足:
\
(偏w)/(偏z*)=0
\
更常用地，这个条件等价于:
\
\
称为C-R条件

在考虑f(z)的各种性质时，我们一定要记住的一点是i仅仅是一个常数，只不过这个常数的性质比较特殊，它的平方是-1。
于是我们可以将一些实函数的性质转移到复变函数上。例如，定义复变函数的导数f'(z)为
此处插入公式
换层
这里Δz是复平面上趋于0的复数（这要考虑所有模充分小的复数Δz，而不仅仅是从某个特定方向趋近于0，这里的情形与二重极限几乎完全相同）

许多书上喜欢记i为√-1。但是这种记法会引来一些问题，甚至让人概念混乱。
我们来考虑(-i)的平方，它的值与i平方相同，均为-1。如果使用算术平方根的记号√，我们知道对正数a，√a一定是大于0的。在复数上我们没有实数的排序，也就无法比较大小。那么，怎么可以确定√-1到底是i还是-i？
如果你仍然认为可以选择虚部为正的那个（也就是i）记为√-1，那么我们再来考虑这样的两个数:-1+i,1-i.它们的平方都是-2i。那么√(-2i)又记为哪一个呢？这在符号选取上就出现了模棱两可的状况。所以以后处理所有带根号的复数运算时，一定要注意到 √ 不可随意使用。后面说到复变函数中的多值函数会讲到这一问题。

复数引入见变态的贴。

注意到上面给出的C-R条件和之前我们熟知的曲线积分中的格林公式，我们可以得到很多复积分的结论。
我们先通过一两个例子来熟悉复变函数的积分。
1.考虑f(z)=1/z。
取任意一条围绕原点的路径（不经过原点），考虑这路径上的积分
此处插入公式
我们刚刚已经强调过i是一个常数，所以
dz=d(x+iy)=dx+idy.
1/z=1/(x+iy)
=(x-iy)/(x^2+y^2).
则
此处插入公式
讨论此积分时我们可以直接利用1/z满足C-R条件这一性质。那么取一个充分小的圆心为原点的圆使这个圆完全在这个路径内，考虑这个圆和路径间的区域，由格林公式知
此处插入公式
但该二重积分值为0，所以我们这里已经证明了积分值与路径无关，只与它包含的不解析点性质有关。其实这个结论对所有解析函数是通用的，以后这贴子内将直接使用这个结论。
设这个圆半径为r，由于x^2+y^2=r^2,所以最终计算得到
此处插入公式

记得发这贴顺便带个标志(外交)

修改部分内容
复变函数从概念上理解是很简单的:一个普通的实变函数，例如f(x)=x²，如果想将其与复数联系起来，最自然的方法是直接将其中的“x”换成“z”，其中，z=a+bi，得到f(z)=z² ，但稍微想想，这种函数与普通的n元函数大有不同:普通的n元函数是将n维空间中的点映射成一个数，因此我们就可以构造一个n+1维的空间去描绘相应的函数图像，而我们构造出的w=f(z)自变量需要两个独立的实数表达，因变量同样需要两个独立实数！也就是说，复变函数w=f(z)是两个复平面之间的映射，是平面与平面上点的一一对应。而且深入一点就能发现，对于一类称为解析函数的复变函数，映射f(z)能使z平面上的图形夹角在变换到w平面时保持不变，即保角变换。这表明解析函数具有优良的拓扑性质。
现在我们提到了一个概念，叫解析函数，据说它具有优良的函数性质，那么何谓优良呢？首先我们需要穷尽所以可能表达复变函数的方式，即:
此处插入公式
\w=u(x，y)+iv(x，y)\
其中，u，v都是任意的二元函数，但这种表达里含有实数x，y，而复变函数最自然的方式当然是整个表达式里只有复数，于是我们引入复数及其共轭复数:
此处插入公式
\z*=x-iy
(z=x+iy)
∴......
\
这样，任意复变函数都可以化成上面那样。现在，我们从复变函数与实变函数对称性的角度考虑，那么共轭复数z*就是一个不和谐的存在。如果z*不存在，那么实变复变就可以自然地相互转化，即只需将实变量x（注意这里的x不是指z的实部）与复变量z简单地互换。具有这种对称性的复变函数无疑具有优良性质，我们把这一类函数称为解析函数。(一般书上是从复变函数可导的角度出发，导出C-R条件，进而引入解析函数的概念)
由于不显含z*，解析函数必满足:
此处插入公式
\
(偏w)/(偏z*)=0
\
更常用地，这个条件等价于:
此处插入公式
\
\
称为C-R条件

由于复变函数的导数可以使用实变函数中完全相同的方法得到，再加上这个贴仅仅是一个普及贴，所以这里不赘述。我们给出结论:
(sinz)'=cosz,(cosz)'=-sinz
(e^z)'=e^z
(z^n)'=n z^(n-1)(n是整数)
可以看出，这完全和实变函数的结论相同。
对数函数，反三角函数与z^a(a不是整数)均为复变多值函数，这里先避免提及，它们和我们所见到的对应的实变函数有很多不同的性质，这里先指出:它们的导数没什么不同。
注意，不讨论a不为e时的函数a^z，这没有必要（书上找不到这样定义的函数。如果规定了lna的值，a^z也可以用e为底的指数函数定义出来）。

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原来你抄的别人的首稿