转帖：求解非线性方程
来源：小木虫（http://emuch.net/）；
使用相关的软件：1stOpt；
内容：
题目看下图，应该用什么方法求解这种问题
网友的解答：
多解吧，1stOpt求解：
CODE:Parameter r=[-10000,0];
Function 2*a*b-2*a*b*cos(a)*cosh(b)+(b^2-a^2)*sin(a)*sinh(b)=0;
a^2=-r*(1+sqrt(1-4/r));
b^2=r*(1-sqrt(1-1/r));
No. r
1 -314.350542117175
2 -591.945294828352
3 -314.350542117124
4 -77.490066467595
5 -18.31
18538130735

6 -314.350542117147
7 -394.552971487191
8 -77.4900664675666
9 -591.945294828371
10 -39.2416278340712
11 -77.4900664675258
12 -1420.99234187037
13 -39.2416278340656
14 -40.7437817193568
15 -0.000110023439544683
16 -0.000190975109419403
17 -0.000219338722890091
18 -0.000225096567150581

这个MC做不了。

我验算了一下，没想到这么高端的1stOpt找到的这几个根都不是
正确的
……
解出a，b准备代入。因为a和b各有两个值，如果要求出全部的λ，需要将a和b的组合分别建立成为独立的方程来解，然后把结果综合到一起，去掉重复值。
从下图可以看出，A(x)和D(x)貌似是等价的，B(x)和C(x)貌似是等价的。
把楼主的数据复制黏贴过来，转换为数学格式。
然后验算，可以看出1stOpt给出的解中后面5个是“假的”，其他的解看上去还比较好。

我用符号计算粗算出了一个解：
很明显这个解要比1stOpt给出的所有解都好一些。
嗯，而且因为A,B,C,D是连续的，那么用MC的数值计算就可以得到全部的解，而且还可以进一步做到解的优化。尽管用MC解这种非线性函数的要麻烦一些，但现在看，我有信心的认为MC给出来的解一定会比高大上的1stOpt来得更好。

嗯，下面两幅图看，当A,B,C,D都取绝对值的时候，这四个函数是等价的，那就把问题简化了。

下面我详细讲解一下主程序，里面涉及到很多这个函数的特征，以及MC的求解命令块的运行特点。我想对这个主程序进行详细的解析，对大家更深刻的理解MC是有帮助的。
主程序全貌见6楼，我这里只是分部分来说：
第一部分
初步求解得到所有可能的解集。我让估值的步长为1，然后在每个估值上进行一次求解命令块的计算得到一个解，然后对这个解求集合。
从A(x)的放大图看，最密集处的解之间的距离也有约20个单位长度，实际上步长可以选择用20的，这样可以节约很多求解时间，也可以是最后得到的集合更舒朗有效。
但是我怕因为我选择了比较长的步长而遗漏可能存在的解，所以还是保守的使用了步长为1。
从A(x)的全值域图形可以看出，当x>0时，A(x)为复数。
从@vv_0147 的转载看，原作者是不希望A(x)得到复数值的，所以在1stOpt中给出的计算值域是[-10000,0]，所以我筛选根的时候，也使用了这个值域。这在之后的程序里也能够看出来。
尽管我知道A(x)是连续的，在TOL范围内应该不会发生解发散的情况，但是为了以防万一，我还是使用了on error。使用MC的求解命令块进行编程的时候，这点是需要注意的，否则真的会让自己陷入麻烦。
尽管我给出的估值范围是-10000到0，但不能确保MC不会得到小于-10000的解，为了防止发生这种浪费资源的错误，我用了一个if分支把可能出现的小于-10000的解过滤掉。
第二部分
第一部分中所得到的ra有100多个，里面有很多非常相近的值，不相等，所以用集合函数也没办法去掉。
我对第一部分所得到的ra进行了一些分析，对照A(x)的图形，确定将ra的值放大100倍之后取整，再缩小100倍，这样就能够想办法去除掉所有相近的值了。实际上，从A(x)的图形中可以看出，所有根之间的距离都是大于1的，所以这一步还可以直接trunc(ra)，而不必像我这样非要用一个很小的窗口来过滤重复值。
对取整之后得到的ra再次求集合，就完成了对相近值的过滤了，得到了rb。
rb中的元素并不是精确解，它们标示出了精确解所处的大概坐标位置，要得到精确解，就需要用rb来筛ra中的大量的近似值。
我对rb中所有元素进行遍历，因为我上面使用的窗口是0.01，所以在这里我仍然用rb±0.01作为筛选ra的窗口。用trim(match())组合去掉其他无关的解，每次仅让MC从ra中筛出一组近似解，赋值给rc。
rc可能有很多个，它们之间距离很近，但只会有一个或者两个解，代入AA(x)之后使它的值最小，也就是所有近似解里的最优解，通过lookup找到这个最有解，这基本上就是我要求的值了。
有一个最优解是可以理解的，那么为什么还会有两个最优解的情况呢？看下图：
因为我是用的A(x)的绝对值来求解的，在AA(x)等于0的附近，可能会有两个x同时满足这个条件。假设解的真值是X，就有可能发生：
|AA(x1)-AA(X)| = |AA(x2)-AA(X)|
的情况。既然这两个解分别处于真值X的左右，那么我对这两个解求平均值的话，应该会得到一个更好的解，所以使用了mean函数。
lookup和match一样，返回的是一个向量而不是标量，所以即使只有一个解，我也要从lookup向量里把它提取出来。
最后一行，我在第一部分里已经说了，x大于0的时候A(x)为复数，所以要去掉大于0的解。嗯，用我这个解法是能够得到1个大于0的解的，约等于10^-11。

源文件我就不上传了，终归这种函数是一个特例，我也是按照这个特例量体裁衣编的程序，换成另外一个函数就不好用了。
我是想说，用MC进行数值编程计算的时候，尤其是在求解的时候，一定要首先对需要求解的函数进行绘图，从而能够直观的了解自己在做什么，从而采取相应的对策。闭着眼睛一味的编程，只能是自造麻烦。

嗯，百密一疏，在这一步里我应该用f(rc)，而不是AA(rc)，下图我已经改过来了：

我只是看到不用初始值就可以求解，比较有趣，所以转发进来的。
希望老朱有机会给讲讲1stopt的应用。最近忙完，计划买本书。

另外一种解法使用了https://tieba.baidu.com/p/3229679092中的定值域求极值的方法，然后root求极值之间的根，更舒朗，更明白，运行更快一些，基本上是秒解了。
并且用符号的就地运算真的非常快。不知道MC12使用了Mupad引擎之后到底发生了什么，如果用“→”都慢的要死，如果用“符号”菜单里的命令的话就跟以前的MC用Maple引擎时候的效果是一样的快了。
求极值的那套算法，我直接搬过来的：
然后在给定区间内root就OK了。
整个过程用了0.4秒，跟1stOpt一样快了。

小木虫里的那个1stOpt程序也有问题，我不知道他用的是哪个版本，使用他给出的CODE根本不会发生有效的求解计算。
我用的1stOpt 6.0，编码如下：
ComplexStr = i;
Parameter r=[-10000,0];
ConstStr a=sqrt(r)*sqrt(sqrt(1-(4/r))+1)*i,b=sqrt(r)*sqrt(sqrt(1-(1/r))-1)*i;
Function 2*a*b-2*a*b*cos(a)*cosh(b)+(b^2-a^2)*sin(a)*sinh(b)=0;
但根本不能同时求出很多解，得到的解的效果也很差：
====== 结果 ======
迭代数: 16
计算用时(时:分:秒:微秒): 00:00:00:349
计算结束原因: 达到收敛判断标准
优化算法: 通用全局优化算法(UGO1)
目标函数值(最小): 10000000000
r: -8324.77164920419
====== 计算结束 ======
嗯，1stOPt我也没用的很明白，怎么同时得到所有满足条件的解，我查了半天手册也没找到相应的语句。不过，至少我上面这么写，1stOpt可以正确计算，小木虫里的那个家伙给出的代码很扯淡的。