简单分析上面的定理及推论，不一定正确

牛顿《原理-第十二章.球体的吸引力》的命题70、71被认为可以向宇宙学中推广，我们要提醒的是，在推广时要注意星体的有限条件和宇宙的无限条件是有显著不同的，不可简单地把Birkhoff定理及其推论向无限条件下推广。
如下图，是牛顿命题70、71及其推导。

牛顿用精巧的几何方法证明了上述命题，我们不妨把它们简单地统称为‘Birkhoff命题’，——1923年Birkhoff证明了有着相呼应内容的Birkhoff定理：
真空爱因斯坦方程的球对称解必静态。
后来发现Birkhoff的原始提法不够准确，修正为
真空爱因斯坦方程的球对称解必为施瓦西度规。
后来又几经修正（梁灿斌、周斌《微分几何入门与广义相对论》上，P261），我们这里想强调指出，任何一个定理的推导都是有前提条件的，如果要推广应用，要认真分析是否越界——是否超出这个定理能正确适用的边界。
命题70说‘该球面内的小球将不会受到这些向心力的吸引’，翻译成现代语言可以说是Birkhoff定理这样的推论（温伯格《引力论和宇宙》P391）：
处于球对称系统中心的球形空腔里的度规，必定等价于平直空间的Minkowski度规ημν。
温伯格说‘球对称系统中心的球形空腔里的空间必定是平直的，即令这个系统是无限的……’，这一推论显然越界了。应该说，Birkhoff定理是一个局部定理，在r→∞时需要认真论证。
首先我们来看牛顿的论证条件及其局限性，然后再来看Birkhoff的。
如下图所示，我们把牛顿的原图略作调整如下。其中IL=HK，而且极接近直径。显然，牛顿命题70的条件仍然是满足的。
现在我们做个变化，假设这个球壳是有厚度的，它是否仍然满足上述条件呢？
作为简单的一种比较，我们设球壳为无限厚，向两端分别无限延长HK、IL，以P为球心、PI和PH为半径作球P，如下图蓝色圆线所示。
显然，处于球心P的观测者会观测到右测的引力要弱一些，它将向左侧加速运动，我们所设的P的方向是任意的，所以，这就意味着原来黑线所表述的大球将有向外球对称膨胀的趋势，——其边界点I必然向左运动，与其对称的L点则必然向右运动。
怎么样才能让P处的观测者观测到各个方向的引力相互抵消呢？
如下图所示，在其左侧再对称地挖去一个球形部分的物质。这样，经过P的任意直线，以P为中心而划分为左右两半（都是无限长），这两条半直线串过的物体和空的空间部分在数量和距离上是相等的，所以，P在各个方向上的引力相互抵消。
由此，我们认识到，把牛顿的命题70、71向无限的情形推广时，一定要注意其前提条件，当然，不仅是这些，所有的定理，当它是在有限条件下推出而要向无限上推广时，一定要注意其适用性。
再举一下简单的例子《几何原本》中的第5公理：
整体大于部分。
这对于有限的情形是成立的，而对于无限的情形则另当别论。——比如，∞/2=∞。
在牛顿力学里如此，在广义相对论里也如此。我们这样简单说明不能将Birkhoff定理简单、机械地向无限时空推广。
如下图所示，在无限均匀的、点点各向同性的宇宙中的一点R，其度规是RW度规。
图中的大圆是以R为球心的球，是为了强化点点各向同性的示意，整个圆形和方形的黄色都代表充满同样的物质，可用同样的能动张量描述。
现在，如下图蓝圆所示，以P为中心，挖去一个球形区域的物质，显然，R处不再是各向同性的，它不可能用RW度规来描述，更不可能是Minkowski的，温伯格所声称的‘必定等于平直空间的Minkowski度规’这一论断只在P点成立。
再简单指出一点，显然，R会感受到向左的拉力——也就是说球形挖空区域会受到四周的拉力，而在各个方向上等速膨胀。