因时间太晚，先发图，明天再写说明。

MC吧几大难题之一，绘制包络，月城已有实质性进展，真是可喜可贺可喜可贺呀！[CLAPPING HANDS SIGN][CLAPPING HANDS SIGN][CLAPPING HANDS SIGN][CLAPPING HANDS SIGN]

期待月城的作品

链接: [无效] http://pan.baidu.com/s/1kTDszsV 密码: 096c
文件中的曲线族函数来自网络。
在上传的文件中，基本上找到了计算并画出包络线的一种方法，但是它还是不成熟的半成品，里面还有不妥当和错误的地方，希望各位吧友批判地看。之所以把未完成的东西上传，是希望得到吧友们的帮助，解决其中尚待解决的问题。
计算出包络线函数，仅究方法来说，就是求解二元一次方程组F(x,y,c)=0和（偏导数）F'c(x,y,c)=0的解析解y(x)和/或c(x)。这里得到的y(x)和F(x,y,c(x))就是包络线函数。
问题是如何得到y(x)和/或c(x)？我目前想到的方法就是用given...find()求解块。实践证明，在有些时候也可行。但是，带来的问题是：
1.我不知道如何把它们用在程序板中；
2.find()未必就能得到需要的解。有时明明心算都可以得到的结果，find()也可能说找不到解；（我欠缺使用find()的技巧）
3计算过程中，需要人工进行移植数据、变换算式等工作，才能继续后续的运算；
4.需要作图验证是否真是包络线。
这样一来，目前只能列出分步的算式，进行半自动计算，没有办法写成程序板自动运行。如果能想到其它方法绕过这些障碍，做成自定义函数，那就再好不过了。
在inside的介绍作图部分的内容的1.4节，有几个貌似包络线的例子。我原本希望从中学习如何画包络线的。把其中的内容研读了一番，才发现，该文介绍的是已知一曲线，画出它的切线族。这和我需要的已知一曲线族，算出它的包络线，正好是互为逆向工程。所以，只好自己另想办法。
我把inside中画包络线图用得着的自定义函数挑出来，按我的习惯（命令行尽可能少）进行了改写，自己又先后编写了3个画曲线族的自定义函数（在evelopefor.xmcd文件中）。在这个基础上才开始探索计算并画出包络图的办法。因此，算式的风格有些像inside的例程。
啰嗦了，目的是希望得到吧友们的支持和帮助，把这一难题解决得尽可能满意一些。 我相信，会有更好的方法来解决计算包络线的问题。或者说，已经有了，但是我不知道。
谢谢。

wiki的那个证明太苟简了，什么叫切向量呀？分明s和t不是正交的，它为啥就那么定义切向量了呢？
公式推导部分我倒是看明白了，就是基本概念我没看明白。

你这里Ma2Vec()是将一个矩阵转成一个向量，然后Vec()中仅使用了Ma2Vec()所转成的向量的第0项和第1项，在这两项中间进行等差插值，是这样的吗？

看你在后面定义的Curves1、2、c，其中的I貌似只使用了前两个元素，如果是这样的话，直接在函数使用说明里说“I是一个两元素向量”不就完了么？而且如此的话，Ma2Vec()这个函数也就没必要使用了，用Vec()直接就可以对I进行插值了，不是么？

I 很重要，非要不可。I 值在Vec(I)中变成了B，d=(B[1-B[0)/B[2 ，就是d=(I[1-I[0)/I[2 。相当于for n∈I[0,I[0+(I[1-I[0)/I[2..I[1的循环。

您说得对，对于I来说，可以抛开MaVec()直接计算，但是后续的x列向量的等差数列，也得自己写算式。既然inside中有Vec()函数，直接把现成的拿来用总要简单些。只是多余走了Ma2Vec() ，绕道了。

呵呵，没事儿，论坛就是每个人都出把力气，对吧？:)
我觉得对于一些有难度的问题，我从来不指望某一个人能够完全的把它解决掉，而是需要团队合作才能干好。咱们现在使用MC已经不是去年或者前年那样，能够解决基本使用方法问题就能够得到满足了，对吧？ :) 攻坚没有团队的话，单打独斗在现在社会是根本不可能的。您以为那些获得诺贝尔奖的朋友们真的都是他一个人的研究成果么？哪个不是有一群人在帮助他？
我觉得现在的MC吧就是缺少团队协作精神，呵呵，不是说您不好哈，您别生气。你提一点儿，我提一点儿，他提一点儿，慢慢的把一个问题搞明白，解决掉，我觉得现在就是需要这样的气氛了。
您在“包络线（参数方程）”中提到：“在这里，必须重写一次fe(u)，不知为什么。”，我找到原因了：
您首先定义的函数，之后再定义r。尽管在之前的定义中，您使用了符号求解，得到了一个带有(r,a)变量的函数fe(a)——注意此时的fe(a)实际上是一个两变量函数，只不过您故意的让其中一个变量消失了，形成了local function，局部定义的函数，此时r作为参变量对fe(a)的数值计算仍旧起作用，但这与您定义的Graph(f,x,type)函数相矛盾。在您定义的Graph()中，f是单变量函数，而MC得到的fe()是双变量函数，因此出现了在之后的EvenGraph()求值中fe报错。即使您已经给出了r的赋值，r=2，但没有用，因为fe()仍旧是双变量函数。
然后您又重新定义了一次fe()，这次是在r=2之后定义的，这个时候，r就是一个常量，所以您定义的fe(a)单变量函数有效。
我把r=2这个定义放到了工作表的最前面，此时在整个工作表里，r都是一个常数，之后就没必要再重新定义fe(a)了。如下图：

您在“包络线（直角坐标）”中第一个例子，有一句“这里的fe(x)和f(x)是同一个函数，与源函数不同”，没看明白。还有您的f1(x)、f2(x)、f2b(x)是怎么得到呢？

在“包络线（直角坐标）”中第一个例子，您说“族曲线和网络上的不同”，网络上是什么样子的？您把网址给过来，我看看哈。

在“包络线（直角坐标）”中第三个例子，find(x)没有找到符号解，但您后面马上令c(x)=-0.5x，如果把c(x)代回F(x,y,c)，得到0.25x^2，也不定等于0。
我把您的这个曲线貌似相切的部分放大，结果也没有相切。
在“包络线（直角坐标）”中第四个例子中，c(x,r):=π+acos(x/r)这个定义也有些莫名其妙。

正在研读，等懂了再次发表意见

不同的地方就是网络上的图没有水平线。

对19楼的回复：
因老是有事牵扯，迟复，望谅。
我发上来的文件，不是成品，也不是范本，文件中的每个题都是我摸索中的记录。所以，不一定正确，书写也不规范。我仅就朱老师的提问做一回答，回答我当时的想法，但是这样的想法和计算不一定是
正确的
。
因为find()有两组解，所以就有两个fe()函数和两个f()函数，fe()就是find()的y(x)，即矩阵第二行的值。f(x)是由矩阵第一行的值c(x)代入--F(x,y,c(x))化简得到的。因为(y-x+2/3)^2要开平方，结果就有正负两个值。所以f1(x)只有一个解，而f2就有f2(x)和f2b(x)两个解。
进行到这里我才悟出，我计算出来的fe()和f()是相同的，原来它们都是同一包络函数，而不是源函数。源函数是我这么叫的，就是没有参数c时的曲线族中最基本的一个函数。正规的数学名称是什么，我没有找到。