数学建模常用算法--编程交流 - 数学建模吧

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雪狼冥灵楼主

声明：该文档均经整理来自论坛，相应的算法设计与思路，应用等均可在百度中详细查询。这里都大概在竞赛要求的理解范围内提一下。
https://tieba.baidu.com/p/1764603543 （该网址来源于精品贴，新人必读吧主整理的十大经典算法）。
这里简要介绍下一些常用算法的设计思路，对大家的建模成长作用很大。在任何时候，这些算法的的光芒始终耀眼。
1，概率算法（也可以是monto carlo算法的思想）
2，贪婪算法
3，模拟退火算法
4，组合算法
5，分治算法
6，规划算法（这里主要动态规划）
7，神经网络算法
8，遗传算法
9，搜索算法，排序算法，floyd算法等

2014年10月25日 14点10分 1

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雪狼冥灵楼主

9，排序算法在组合算法中已写。其他的参阅数据结构即可。
floyd算法，matlab编写，十分简单
%floyd.m
%采用floyd算法计算图a中每对顶点最短路
%d是矩离矩阵
%r是路由矩阵
function [d,r]=floyd(a)
n=size(a,1);
d=a;
for i=1:n
for j=1:n
r(i,j)=j;
end
end
r
for k=1:n
for i=1:n
for j=1:n
if d(i,k)+d(k,j)<d(i,j)
d(i,j)=d(i,k)+d(k,j);
r(i,j)=r(i,k)
end
end
end
k
d
r
end

2014年10月25日 15点10分 12

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雪狼冥灵楼主

三、A*算法
　A*算法中更一般的引入了一个估价函数f,其定义为f=g+h。其中g为到达当前节点的耗费，而h表示对从当前节点到达目标节点的耗费的估计。其必须满足两个条件：
1、h必须小于等于实际的从当前节点到达目标节点的最小耗费h*。
2、f必须保持单调递增。
　A*算法的控制结构与广度搜索的十分类似，只是每次扩展的都是当前待扩展节点中f值最小的一个，如果扩展出来的节点与已扩展的节点重复，则删去这个节点。如果与待扩展节点重复，如果这个节点的估价函数值较小，则用其代替原待扩展节点，具体算法描述如下：
范例：一个3*3的棋盘中有1-8八个数字和一个空格，现给出一个初始态和一个目标态，要求利用这个空格，用最少的步数，使其到达目标态。
问题分析：预期值定义为h=|x-dx|+|y-dy|。
　　　　　估价函数定义为f=g+h。
＜Type＞
　Node(节点类型)＝Record
　Situtation:TSituation（当前节点状态）;
　g:Integer;(到达当前状态的耗费)
　h:Integer;(预计的耗费)
　f:Real;(估价函数值)
　Last:Integer;(父节点)
End
＜Var＞
　List(节点表):Array[1..Max(最多节点数)] of Node(节点类型);
　open(总节点数):Integer;
　 close(待扩展节点编号):Integer;
　New-S:Tsituation;(新节点)
＜Init＞
　List＜-0;
　open＜-1;
　close＜-0;
　List[1].Situation＜- 初始状态;
　＜Main Program＞
　While (close＜open(还有未扩展节点)) and
　　(open＜Max(空间未用完)) and
　　(未找到目标节点) do
　Begin
　　Begin
　　close:=close+1;
　　　For I:=close+1 to open do (寻找估价函数值最小的节点)
　　　Begin
　　　　if List[i].f＜List[close].f then
　　　　Begin
　　　　　交换List[i]和List[close];
　　　　End-If;
　　　End-For;
　　End;
　For I:=1 to TotalExpendMethod do（扩展一层子节点）
　Begin
　　New-S:=ExpendNode(List[close].Situation,I)
　　If Not (New-S in List[1..close]) then
　　　(扩展出的节点未与已扩展的节点重复)
　　　Begin
　　　　If Not (New-S in List[close+1..open]) then
　　　　(扩展出的节点未与待扩展的节点重复)
　　　　Begin
　　　　　open:=open+1;
　　　　　List[open].Situation:=New-S;
　　　　　List[open].Last:=close;
　　　　　List[open].g:=List[close].g+cost;
　　　　　List[open].h:=GetH(List[open].Situation);
　　　　　List[open].f:=List[open].h+List[open].g;
　　　　End-If
　　　　Else Begin
　　　　　If List[close].g+cost+GetH(New-S)＜List[same].f then
　　　　　　(扩展出来的节点的估价函数值小于与其相同的节点)
　　　　　Begin
　　　　　　List[same].Situation:= New-S;
　　　　　　List[same].Last:=close;
　　　　　　List[same].g:=List[close].g+cost;
　　　　　　List[same].h:=GetH(List[open].Situation);
　　　　　　List[same].f:=List[open].h+List[open].g;
　　　　　End-If;
　　　End-Else;
　　End-If
　End-For;
End-While;
　对A*算法的改进--分阶段A*：
　当A*算法出现数据溢出时，从待扩展节点中取出若干个估价函数值较小的节点，然后放弃其余的待扩展节点，从而可以使搜索进一步的进行下去。

2014年10月25日 15点10分 15

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雪狼冥灵楼主

6，动态规划；这里面是运筹学的知识，很多整数规划，线性规划等都已经在上面提供了很多思路，继续讲解都是赘述，大家可以看看书或者查阅相关资料。
引言
动态规划的基本概念
动态规划的基本定理和基本方程
动态规划的适用条件
动态规划的基本思想
动态规划的基本步骤
动态规划的实例分析
动态规划的技巧
动态规划实现中的问题
动态规划与其他算法的比较
动态规划的理论基础
其他资料

2014年10月25日 15点10分 17

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雪狼冥灵楼主

5，分治算法
分治法的基本思想
任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。
分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n ，且这些子问题都可解，并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
分治法的适用条件
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。
分治法的基本步骤
分治法在每一层递归上都有三个步骤：
分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；
合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
它的一般的算法设计模式如下：
Divide-and-Conquer(P)1. if |P|≤n0 2. then return(ADHOC(P))3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk4. for i←1 to k 5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题7. return(T)
其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时，直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,...,Pk的相应的解y1,y2,...,yk合并为P的解。
根据分治法的分割原则，原问题应该分为多少个子问题才较适宜？各个子问题的规模应该怎样才为适当？这些问题很难予以肯定的回答。但人们从大量实践中发现，在用分治法设计算法时，最好使子问题的规模大致相同。换句话说，将一个问题分成大小相等的k个子问题的处理方法是行之有效的。许多问题可以取k=2。这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡(balancing)子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。
分治法的合并步骤是算法的关键所在。有些问题的合并方法比较明显，如下面的例1，例2；有些问题合并方法比较复杂，或者是有多种合并方案，如例3，例4；或者是合并方案不明显，如例5。究竟应该怎样合并，没有统一的模式，需要具体问题具体分析。

2014年10月25日 15点10分 18

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雪狼冥灵楼主

@中国人看好中国
虽然写得乱七八糟，但是主要思想，脉络都是很清晰，这些算法的思想很常用。不影响大局，请申精。

2014年10月25日 15点10分 20

雪狼冥灵

我一般无聊的时候把这些东西当电子书看~~~@中国人看好中国

2014年10月25日 15点10分