书上的方法貌似都行不通，求大神解答！

感觉收敛，暂时不会证

感觉一般项不趋于零

不收敛。。利用sinn小于等于1就好

发散

不收敛

感觉发散，不会暂时不会证明

不收敛。通项不趋向0
当n是π的最佳分数n/m的分子时，可证一般项>m/n

我们证明满足abs(1/(n sinn))>k/n的正整数对(k,n)有无穷多组，其中k和n有如下关系：lim(n->inf)k/n=1/π
由连分数浅说定理20可知不等式abs(π-n/k)<1/k^2有无穷多对正整数解，即abs(kπ-n)<1/k有无穷多对正整数解。注意到abs(sinkπ-sinn)<=abs(kπ-n)，故abs(sinkπ-sinn)=abs(sinn)<1/k有无穷多对正整数解，这意味着abs(1/(n sinn))>k/n有无穷多组正整数解。由反证法易知满足上式的n的全体构成无穷集合，故可对n取极限，因为关系式abs(π-n/k)<1/k^2，故有lim(n->inf)k/n=1/π>0.1，由极限性质知有无穷多个n使得abs(1/(n sinn))>0.1，所以原级数通项不趋于0，发散@KeyTo9 但愿我没错。。。。

我咋记得好像是国外的一道竞赛题

好吧，我写一下我的奇葩解法，有大神发现哪里错了麻烦指点一下。
无穷级数∑1/[n*sin(n)]可以写成∑(1/n)(1/sinn)，可以写成n维空间内两个n维矢量的点积。
这两个矢量分别是(1/1,1/2,1/3,1/4,...,1/n)以a代表,(1/sin1,1/sin2,1/sin3,...,1/sinn)以b代表
于是这个无穷级数的和化成了两个矢量的点积，而这两个矢量的点积的值，等于a的模乘以b的模乘以一个（-1，+1）的值，先考虑a和b的模：
a的模平方为：∑(1/n)^2，这个级数是收敛的，不作赘述；
b的模平方为：∑(1/sinn)^2，对于该式，每一项的值均大于1，则无穷项的级数和不收敛。
则显然，无穷级数不收敛