一楼防删。

总是有人在抱怨高数吧只会问作业。
那就来点奇怪的贴子。
以下是自己编的，没答案。
前两题可能有“简单”的解法，第三题不知是否“能解”。

H(x,n) 的写法只是为了方便大家讨论。
有兴趣的可看一下维基：
超运算
迭代幂次
甚至看一下英文wiki:
Tetration
想了解更多？
后面的 External links 还有一个论坛，与超运算有关的都可以在那边讨论。

第一问做出来了。

居然连极限的定义都派上用场了。
看来我已经黔驴技穷了……
突然发现，这种极限的定义与第一问很合得来。
这题的epsilon任取区间(0,1)内的数，都可以解这题。
而区间(0, delta)恰好限制住了x的范围，为“迫敛性”（夹逼定理）铺路。
也就是说，当年用这种方式来定义极限，难道另有隐情？
也许那时候是为了对付与“递推”有关的极限，才这么定义的吧！

至于第(2)问，先看一个“更强”的引理。

其实第(2)问只不过是个简单的推论。
第(3)问还需要一个引理。

第(3)问只是“不等式链”的一个结果而已。

写了那么多，还是要注意 6楼 的 “引理2” 。
Wikipedia :
tetration
找到“Inverse relations”.
设数列{y(n)}满足 H( y(n),n ) = H(x,n+1), x>2,
那么 y(n) 与 "Super-root" 有关，并且{y(n)}单调递减.
y(1)=x^x,
y(2) 不能用关于 x 的初等函数表示，但与 “朗伯W函数”有关，详情维基。
而“引理2” 中 y 的范围，就与 y(2) 有关，x^(x-1) 只是一个 y(2) 的下限而已。
但“朗伯W函数”太多人研究了，详见《特殊函数概论》，不懂。
那么研究 y(2) 的范围就没什么意义了。
要 n>=3 时, y(n) 才有“研究价值”。
剩下就交给“官科”了。