因为很少在贴吧发长贴，不是很清楚长贴怎么写，所以大概每段写的很短，一段一段用回复来写，看官们劳烦了。
首先定义坐标，使用右手坐标系，地面长边的中点设定为坐标原点，沿长边向左为X轴正向，沿宽向内为Y轴正向，垂直向下为Z轴正向。如图

为了使模型具有更大的适应性，将桌面的圆形看成一种函数表达式，同时将木板边缘也看成一种函数表达式，后期需要修改桌面或木板时直接将需要的曲线替代入模型就成。

关于铰链开在什么地方，或者桌腿开在什么地方。贴吧中吧主和另外一名吧友都有自己的看法。其中吧主为了把左右两条支撑腿中间的余量留出来，采用了将圆形的半径画得大于桌子半宽的办法。我个人觉得大可不必，毕竟这个增大的半径解释起来很麻烦。我试验了将桌腿分别开在内侧桌腿线与圆形交点，中线与圆形交点和外侧桌腿线与圆形交点三种方案。其中若用外侧线方案，则左右两条支撑腿的铰链就靠在一起了，与原题表述不同。若采用内侧线方案，支撑腿的长度还没达到桌子的高度（此处高度为原题高度-厚度，下同），只有中线方案符合原题表述，也符合任意给定曲线的通用设计。
所以铰链断面就开在桌腿中线与桌面形状曲线的交点处。

嗯，继续，没人捧场，我来加油！:)

在圆形情况下，木板上下左右都是对称的，但这个模型的目标是可以设计完成上下左右都不对称的折叠桌，在这里我们先把以x=0 曲面为断面，y>0部分称为左半边，先单独讨论这一部分的，情况，对于左右不对称如何设计，会在后面说到。
定义开合角alpha（不会在网页上插入符号）

需要注意的是当折叠桌活动时，每条腿的开合角都不一样，我们这里计算和使用的开合角alpha特指支撑腿的开合角。
钢筋是一根刚性物体，所以其在xz平面内只能投影为一个点，以steel标示，下面用图和公式来说明钢筋的坐标计算
第二个图中三个角相等，都等于开合角alpha

加油！请继续！

代入设定的参数，看看初始S，最大角S，最小S的计算结果
腿0是最靠近观察者的支撑腿，9是最靠近中间、圆半径处的腿。腿0由于是支撑腿，所以钢筋在腿上的位置没有变化。
发现问题了么？开合角不大的时候，钢筋在一些腿中先是向内走，之后再向外走
其实在一个真实的以木质或其他具有韧性的材料中，这是一个很好的设计元素。如果在开槽的时候，就按照0度角的槽位去开，不管这部分向内走的槽，那么桌子在回复为平板后因为自身应力无法使桌腿在初期旋转，那么这个桌子就不会自己打开来。
这是一种利用微小的反方向位移进行巧妙锁死的设计。
这保证了这张桌子放成平板后不会动不动就自己展开。（设计师好机智啊，唯一的怀疑是这是设计后的巧合还是原来就这么打算的？）

具体的开槽参数
其中Spout_x平板状态下每条腿开槽位的x坐标，Spout_L表示从开槽位向x轴正向开槽的长度。一头一尾那两个10的-15次方的数就是0嘛。mc这个问题怎么解决，求教？

你希望它显示为0呢？还是显示为这个小的误差值呢？
在MC中，通过在“格式”菜单→“结果”→“公差”，调整“零阈值”来控制让MC对多小的数便默认为0，把这个数字调到小于15，即可。
在MP中，应该也有相应的设置，你找找看。
如果没问题的话，请继续 :)

你在建模的时候如果遇到什么问题，尽管说，没事儿，咱们可以一块儿解决。我这么说的原因是，我感觉你上面的程序有点儿别扭。
嗯，先按照你的思路往前走，别着急就好哈。

轮到计算桌腿的包络了。实际的问题是每根桌腿的坐标位置。
在有厚度时的计算方法是在X-Z平面内从钢筋连接点拉一根支线到第i根腿的铰链点的距离为h/2，计算支线的斜率k（可以使用MC或者MP中的root函数计算，需要针对不同情况设置不同的试算值），再根据斜率k和第i根桌腿的距离计算出桌脚坐标。由于这个的计算量的确巨大，且试算值设置的不好会无法得到结果，所以编程计算有厚度时桌脚坐标难度很大。
于是简化模型，视厚度h=0，此时每根桌腿桌脚、钢筋连接点与铰链点在一根直线上，其中桌脚到铰链的距离为li，钢筋连接点到铰链点的距离可以根据两点坐标计算得出，也就是S。
根据三角形等比例公式可以计算出此时桌脚坐标。
因为桌脚具有宽度w，所以桌脚坐标是一个离散值，但w影响的仅是桌脚相互之间的距离，不影响落在同一根包络线上。在计算包络时可以把桌脚的y值当做一个连续量。
桌脚包络的三维坐标：
根据此坐标代入参数值可以计算任意开合角下桌脚的包络曲线。这里将y和alpha连续变化，看看桌脚的包络曲面

首先是展开吧主的提问，关于桌腿和钢筋的受力分析。
我曾经说因为桌腿有些开合角<90度有些开合角>90度，这个桌子就会在支撑的时候稳定，现在我拿最外面的支撑腿与最里面的腿当做特征桌腿来分析。
当桌子重力和桌面受向下的压力的时候，作为唯一与地面相接触的支撑腿的腿脚受垂直向上的支持力。这个支持力会传导到钢筋上。
这个时候，开合角<90度的桌腿受到分解出来的切向力的作用，其运动趋势是使得此桌腿开合角变小。
而开合角>90度的桌腿收到分解出来的切向力的作用，其运动趋势是使得此桌腿开合角变得更大。
也就是说，一部分桌腿的趋势使得钢筋向左位移，一部分使得钢筋向右位移。钢筋是固定在支撑腿上的，如果要靠重力使得那部分开合角>90度的桌腿开合角变小，需要使得开合角<90度的桌腿上的切向力在开合角>90度桌腿上再次分解后的切向力大于直接由支持力分解出来的切向力。这...不嫌麻烦的话，可以算算，总之一般的结论是只要一部分桌腿在打开到最大的时候开合角能够>90度，这个桌子就是很稳定的，而且桌面上的压力越大，桌子会越稳。
那么这个结构与一般的一个桌面，4个垂直支撑腿的桌子相比有什么不同？
1：桌子更费料，同样桌面情况下，桌子更重
2：一般的桌子结构中最脆弱的是桌腿与桌面相接处。所有的法向和切向力都集中在这4个连接的地方。而这个桌子最牢固的就是铰链端，因为通过钢筋，所有的力都分散到每一条桌腿，最终反馈到这为数众多的铰链端。
3：一般的桌子要保持形状，需要本身具有形态维持功能的结构连接件（比如直接以钉子来保持垂直，或具有锁死功能的铰链）；这个桌子不使用任何形态维持功能的结构连接件就可以在平板和最大开合脚两种形态保持一定的形态锁。（平板的形态锁看10楼最后一段话，打开的形态锁就是这个帖子开始的受力分析）
4：当然是桌腿包络很美
下面就解决原题中第二问在给定桌面宽D，桌高H情况下如何又稳，用料又少的问题了

最后的几点：
1. 在计算加工参数的时候不能够把模型简化成h=0，以第一题为例，分别考虑厚度和不考虑厚度加工参数相差5%-7%。
2. 桌脚包络线中钢筋的坐标几乎是关于alpha的单变量函数，取不同的f(y)和g(y)函数的时候，只需要注意掌握支撑腿的铰链点和支撑腿长，包络线的形状完全由f(y)和g(y)的函数表达式决定，所以是可以设计桌脚包络的形状的
3. 贴出来的东西是最后定型的东西，中间有很多的模型修改和试算，没有成为最终结果的都没有贴出来
4. 关于对称形状的问题，如果我们将某点确立为桌面中心点，然后将桌面按照(x=0)平面和(y=D/2）平面划分为4个象限，记为quadrant[i]，那么只需要保证for each i,j included in quadrant, max(l[i])=max(l[j])，既每个象限中最长腿长相同就可以，同时每两条用钢筋相互固定的腿的铰链点在同一个x值上。桌面可以达到上下左右都不对称
5. 支撑腿不需要必须在桌子的最外面，钢筋必须永远固定在最长腿上。
举个栗子：(x>0,y<D/2)上可以是关于y的对数函数，(x>0,y>D/2)可以是有位移的双曲函数，(x<0,y<D/2)是正弦函数，(x<0,y>D/2)是椭圆函数，这个桌子完全可以直接使用以上所提供的MP式子和程序自动完成计算，记得把f(y)写成分段函数。
而修改g(y)函数则可以看见各种有趣的桌脚包络线。
好了，基本就到这里了，如果觉得我还有疏漏的，欢迎回帖

我用algodoo做了一个运行力学仿真，好像和zpczzn说的不一样。主要还是摩擦力……
当木头有摩擦力（摩擦系数0.5）的时候：
当木头没有摩擦力的时候，我录成了动画：

好像有些不清楚哈。
zpczzn只分析了左右方向的分力，没有考虑沿着运动导槽方向的分力。左右方向的分力通过摩擦系数，给出了摩擦力，与运动导槽方向的分力平衡后，才能保证桌子立得住，可当没有摩擦的时候，就没有这个平衡分力，桌子就垮了。

嗯，刚才有一个地方设置错了，我把桌子的所有材料都设为没有摩擦，这不对，这样使桌腿和地面也没有摩擦了。我修改了一下，只让钢筋和导槽之间没有摩擦；给桌子赋予木头材质；把钢筋固定在最外边的桌腿上，而不是像上面的榫接；加工上我在导槽处给出了1mm拐角作为自锁机构，即当钢筋处在这个导槽端部时，可以滑入拐角，从而使导槽方向的分力也可以被桌腿承受。
做了这一番修改之后，桌子立住了：
可是当我在桌子上面放3kg重物，我也用木头的：
特么还是垮了。

吧主，不是分析错了，是你设置的初始变量错了
要让这个桌子稳定，最基本的条件是支撑腿斜率的绝对值大于内部腿斜率的绝对值。
也就是说，你设置初始值的时候把支撑腿的最大开合角弄大点
alpha_max~Pi/2
这个时候你再做做受力分析看
这部分我懒了没有把式子列出来
总之的结果，你把alpha_max~90度，你看看就是了

这个桌子是被设计成如果有垂直向下的压力，那么将增大桌腿向桌面中心区域的切向力。
翻译过来就是：你越压桌子，桌子越想打开
于是越压越稳
所以上面算各种值的时候取极限都把alpha_max取成了90度，实际加工的时候alpha_max也都是接近90度的
我上面说了中间还有很多的试算过程和中间过程，可是打东西实在很烦，没放上来

嗯，我按你说的改了改，确实如此哈。我对力学就是个小白，我把那个重物换成了密度比木头大一些的（木头密度按0.6kg/l，现在选的材料是1.5kg/l），而且从距离桌子1m处落下，桌子虽然不是说纹丝不动吧，至少立住了哈。