请不要误会……
a是加速度，v是速度
【简介】由于二者的关系涉及微分和积分，直接判断非常复杂，笔者对此有所研究，贴出来与吧友分享。（申请精品）
【适用人群】高中物理基础相对较好的同学。
【提示】其中可能出现微分方程。
【本帖讨论的主要模型】
（1）曲线运动的轨迹形状
（2）和速度成正比的阻力问题，如导体棒、某些题中的空气阻力。
（3）机车恒定功率启动问题。
【说明】本帖大致一晚上更新完，若回帖较多，可点“只看楼主”

1、非直线的av关系
（1）a始终和v垂直
物体作圆周运动。
实例：洛伦兹力提供向心力
（2）曲线运动的某时刻
如下图所示：
对于某时的速度（对应轨迹的切线），按照速度方向和与速度垂直方向分出4个维度，如图所示，若加速度a的终点落在左侧，则为减速运动，在右侧为加速运动。在上侧轨迹向上弯，在下侧，轨迹向下弯。
（3）恒定的a导致的速度变化问题
如图所示：
（利用正负功也可判断）
由图可得：
假设a的大小方向都恒定，若在某一时刻，av成一角度，在之后v的变化情况：
◆a—v同向时，v始终增大。
◆a—v成锐角时，v始终增大。
◆a—v成直角时，v始终增大。
◆a—v成钝角时，v先减小后增大。
◆a—v反向时，v减小至0后增大。

2、直线的av关系
（1）【定性】处理直线的av关系的一般思路[注1]
◆判断a和v的方向是否相同
◆由此导出v是增大还是减小
◆由av关系，结合a的方向导出a是增大还是减小
◆若a在减小，有朝一日[注2]a会为0，之后方向改变则回到第一步继续分析，若进入平衡状态，则保持平衡状态。
注1：这个也可以类似的处理其他微分量和被微分量之间的关系，也可以推广至a—v—x的关系（如弹簧问题）的分析。
注2：下面会说关于达到平衡所需要时间的问题，这里暂时用不那么严谨的“有朝一日”代替。
（2）【定量】处理直线的av关系的一般思路
◆在不涉及时间的问题中，只需要把已知量和av建立联系是不难求解的
◆由约束关系得到a与v的表达式
◆将a写成dv/dt，解微分方程可得v-t关系式。
注：高中物理和高中数学不讲微分方程，读者若无法理解可以跳过这一段，后面在使用时只需要看看结论即可。

3、和速度成正比的阻力问题
（2）合外力为阻力，有初速度
即ma=-kv，规定速度方向为正方向
【定性分析】
◆初态：
v正方向，a反方向，v减少；
◆一开始：
v减少，a减小。
◆最终：
v=0，a=0，物体停下来
◆结论：物体作加速度减小的减速运动。
【定量计算】
①求v—t关系
（展示过程，若不知道微分方程的同学可以跳过）
图像：
同样的，也有和上例类似的结论，这里不做赘述
②v-x关系
利用最终停下来，可以求得最大位移。

4、汽车恒定功率启动问题
即ma=F-f，P=Fv，假设牵引力F为正方向
【定性分析】
◆初态：
一开始速度为0，加速度等于F/m，速度一开始向正方向增加。
◆一开始：
速度向正方向，加速度正方向，所以速度增加；
速度增加，又ma=P/v-f，所以a在减小；
◆最终：
a=0，v不变，最终进入平衡状态。
◆结论：物体作加速度减小的加速运动，直至平衡状态速度保持不变。
【定量计算】
图像：
由于函数过于复杂，求v关于t的函数难求，仅仅画出t关于v的函数。

5、总结
◆定性分析的一般思路：
先判断av方向是否相同，再看v如何变化，再通过av关系判断a的变化，如果在减小，最终会达到平衡状态或反方向运动。
◆定量分析带来的结论：
不能对不平衡状态到平衡状态列动能定理或动量定理方程。
【由于才学疏浅，时间仓促，多有纰漏，还望指正】
————————————结束————————————

好东西。。。不过。。可惜两个月前已经有人发过了。。。。。唔。。。好像是科普季的第三名。。

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