发散级数在微分方程中的应用
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🌸花曦心💖 楼主
以前贴吧里很多人都热衷于讨论1+2+3+4+...这样的发散级数，基本上都是被大神们一致的否定，认为这样做不仅不对，而且完全没有任何意义，或者说这只是物理学家的胡闹，实际上恰当的运用发散级数，在数学上也是有很多的应用的，这里给出发散级数在求解常微分方程特解上的应用。
2014年05月02日 02点05分 1
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🌸花曦心💖 楼主
1.对于一阶线性常微分方程
如果使用微分算子的方法，可以得到
在这将1/(x+a)按照幂级数的形式展开可以得
显然，如果f(x)是多项式函数，在对f(x)若干次的作用后，上式右边将不再是无穷项之和，因此是一个收敛级数，但是在多数情况下，这个幂级数是发散的，不过如果借助一些求和方法，比如Zeta函数正规化，波莱尔求和方法，赫尔德求和方法，那么我们可以从发散级数中得出正确的微分方程特解
2014年05月02日 02点05分 2
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🌸花曦心💖 楼主
使用类似的方法，可以求得一般情况下
的特解为
2014年05月02日 02点05分 4
level 12
🌸花曦心💖 楼主
例2
2014年05月02日 02点05分 5
数学真迷糊
第二行， =log(x)+...... 这个单独的log(x)是怎么来的，莫非前面的求和，是从0开始的？？你写错了？？
2014年06月20日 15点06分
数学真迷糊
请问，第三行积分号是怎么来的，用到了什么结论
2014年06月20日 15点06分
🌸花曦心💖
回复 数学真迷糊 :从0开始的，写错了
2014年06月20日 16点06分
🌸花曦心💖
回复 数学真迷糊 :第三行是用波雷尔变换求上面的发散级数和
2014年06月20日 16点06分
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我爱阿利
蛮好的方法啊[真棒]王高雄上面真还没有。。。长见识了。。。再多发些，我给你加精
2014年05月02日 03点05分 6
我爱阿利
不过求特解，用算子的话，陈文灯上也有总结，能说下本帖方法的长处吗？
2014年05月02日 03点05分
🌸花曦心💖
在求解高阶微分方程的时候比常数变易法更有效
2014年05月02日 03点05分
我爱阿利
回复 chzhn :[滑稽]坐等更新啊
2014年05月02日 03点05分
🌸花曦心💖
回复 我爱阿利 :一会写，不过感觉都差不多
2014年05月02日 03点05分
level 13
往昔如花坠
留名
2014年05月02日 04点05分 7
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🌸花曦心💖 楼主
对于二阶情形可以作同样的处理
2014年05月02日 06点05分 8
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1185818901
话说这些求和方法哪本书有？
2014年05月02日 07点05分 9
🌸花曦心💖
很少见到专门讲这个的，国外资料有一些，不过感觉也都很难懂
2014年05月02日 08点05分
1185818901
回复 chzhn :推荐几本行不[吐舌]
2014年05月02日 10点05分
我爱阿利
回复 1185818901 :波莱尔出过一本有关发散级数求和在微分几何中应用的书，你上网找找，或许有吧
2014年05月02日 18点05分
level 12
🌸花曦心💖 楼主
对于二阶的情形
如果特征方程x^2+ax+b=0的两根不相同，那么用分解的方法可以得出公式
设两根为x_1和x_2
那么
也就是说，如果方程具有这种形式，那么可以直接将e^(dx)中d的值代入特征方程中，从而可以快速的找出方程的特解
2014年05月02日 09点05分 10
level 12
🌸花曦心💖 楼主
对于f(x)是正弦和余弦的情形，也可以用类似的方法处理，不过考虑到欧拉公式和叠加性，可以由上式得出
比如方程
2014年05月02日 09点05分 11
我爱阿利
sinmx是不是换错了?
2014年05月02日 15点05分
🌸花曦心💖
回复 我爱阿利 :你帮我检查下看看 ，好像没错
2014年05月02日 15点05分
我爱阿利
回复 chzhn :sinmx=（exp（imx）-exp(-imx)）/2i吧？
2014年05月02日 15点05分
🌸花曦心💖
回复 我爱阿利 :好像是有点问题呢
2014年05月02日 15点05分
level 13
我爱阿利
其实陈文灯上有:
(f(D))^(-1)xe^(ax)=e^(ax)x(f(a))^(-1)之类的求特解方法，其中也有等式右边是Sinx，Cosx的情况…问一下，是把楼上等计算的结论化吗？
2014年05月02日 12点05分 12
🌸花曦心💖
大概是吧，不过我这个也不能算严格的推导，我不知道怎么证明上面是合法的，毕竟发散级数涉及到的背景知识相当复杂，里面要用到很多解析延拓的东西
2014年05月02日 12点05分
我爱阿利
回复 chzhn :恩，我过几天问问我老师，求几本资料推荐看看的*^o^*
2014年05月02日 12点05分
level 13
我爱阿利
基本的运算性质：
截图出处：
2014年05月02日 18点05分 13
zzy717565
话说为什么搞这么多线性微分方程的计算方法呢？都是线性的方程，只是计算方法，没什么大用处吧 最近在看傅里叶变换和其他各种变换，有一种傅里叶变换用指数函数做核函数的解释就是指数函数是微分算子的特征值，觉得是很有意义的想法
2014年10月27日 14点10分
zzy717565
指数函数是微分算子的特征函数，上面写错了
2014年10月27日 14点10分
level 12
吞8吞8
不懂…学姐好厉害
2014年05月02日 21点05分 14
level 12
噀玉喷珠
谢谢分享
2014年05月03日 01点05分 15
level 12
中二大帝
厉害
　　　--“快！救我！我一直都感到有一种无形的力量扼住了我的喉咙，让我呼吸困难，脖子后面也老是感觉有诡异的阴风！难道我遇到了传说中的...”
“你毛衣穿反了。”
“。。。。。。哦，谢谢。”
2014年05月03日 01点05分 16
level 6
993759709
mark
2014年05月03日 04点05分 17
level 7
彬桐jack
这在矩阵中也有相对应的例子
2014年05月03日 06点05分 18
昵称
矩阵是有限维线性空间。
2014年05月03日 08点05分
彬桐jack
回复 weiqisc :但函数可以推广到无穷维线性空间
2014年05月03日 08点05分
彬桐jack
类比
2014年05月03日 08点05分
level 5
Aliver_Queen
微分算子的方法不适用所有的微分方程吧
2014年05月03日 22点05分 20
🌸花曦心💖
是的，但是对很多问题处理起来比较容易
2014年05月04日 01点05分
level 2
李P4n
本科生已经看傻了。。。
2014年05月04日 09点05分 21
level 1
lxk2456645
把数学当成一种兴趣多么幸福
2014年05月04日 10点05分 22
xieac
同感，尽管我才高二
2014年08月22日 11点08分
豆浅京七2v
我补高数是为了量子力学。。。
2014年11月30日 10点11分
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