假设在欧式几何的平面空间内，有着一个半径为R的圆。很明显，这个圆的面积为πR²。如果在这个圆内划分出无数个半径逐渐缩小的同心圆，相邻的圆之间则组成无数个渐渐缩小的同心环，我感觉所有环的面积总和应该也会这个圆（近似？）相等的吧？
而重点是，从最外一个环开始按自然数递增编号，再将奇数部分的环全部挖空。那么，剩下的环面积到底占原本圆面积的多少呢？

→_→我感觉你这个就类似把一条线段分成无数点然后编号。首先自然数和线段上点的数量是不能一一对应的。还有那个挖空我不知道怎么挖怎么算…

不知道。。。

一半

你看，一旦圆心决定之后，每一个圆都可以由半径唯一确定。不妨设你说的那个R=1，那么所有圆的集合就可以跟区间(0,1]上的实数建立一一对应。（不妨的原因是不是1也能建立，只不过复杂很多）也就是说，圆的集合里的圆和区间(0,1]上的实数一样多。然后，学过高数都知道：任何一个连续的实数区间都是不可数集。结论：不能用自然数编号。

分法很重要，一方面是不可数的，另一方面如果是可数的，甚至可以构造出偶数环面积是(0,1)里面任意实数的分法

不过，如果是按照圆半径的1/2,1/3,1/4...这样子分的话，感觉就能用自然数编号得了吧？..

想起来根据火柴掉落在美国国旗上的概率计算圆周率的故事。

不是等价于无限分割时每一段面积折半吗？应该是一半面积吧？

假设被分了A等分，从0,1,2，···开始计数，第一个环面积是πR²-πR²（（A-1）/A)²，第二个环面积是πR²（（A-1）/A)²-πR²（（A-2）/A)²，两者之差是πR²（A²+（A-2）²-2（A-1）²）/A²=2πR²/A²；
第2n-1个环面积是πR²（（A-2n+2）/A)²-πR²（（A-2n+1）/A)²，
第2n个环面积是πR²（（A-2n+1）/A)²-πR²（（A-2n）/A)²，
两者之差是2πR²/A²；
总面积差是A/2*2πR²/A²=πR²/A，
A是一阶无穷大，πR²/A->0

圆面积能不能用积分求来着……对单位圆，圆周轨迹是x^2+y^2=1，积分……应该可以积出来？

我觉得最好的算法还是10楼那个，去求差值，证明差值是高阶无穷小，可以忽略，以此证明面积上保留的部分和去掉的部分相等，不用微积分。至于分法，用数字编号是可行的，如果以涟漪说的那个等效来说，把线段等分成正整数总量的等效无穷大份就可以。