被大数学家Smale收入他18问题之中的某个问题，是什么力量让其悬而未决？
在Hartshorne《代数几何》的习题中出现的猜想，究竟是稍有难度，还是另有隐情？
“素数控制者”张益唐与他的导师莫宗坚的反目成仇，在68年间以许多尝试的证明中各种古怪的错误，这个问题到底有多少秘密，让代数几何界的大师们飞蛾扑火？
敬请关注今晚的走进数学——雅可比猜想，它的思想与进展

但是如果只有雅可比行列式不为非零常数会怎么样？乍一看好像也挺简单的。根据多元微积分里的反函数定理，如果一点的雅可比行列式不为0，那么它就局部存在反函数（也就是这点附近存在反函数）。假设原函数是F，反函数是G，那么G(F(x))就是Id,也就是单位函数。再利用链式法则，能够得到
从而F的雅可比矩阵J_F就是一个可逆的矩阵。但是雅可比行列式是一个多项式，而且有代数基本定理，这个多项式次数大于等于1就会有根。为了雅可比矩阵可逆，这个行列式只能是常数。
但是反过来呢？这个问题由1935年O Keller在讨论“Ganze Cremona--Transformationen”的时候提出。问题如下：
如果复数域的多元多项式F的Jacobi行列式是可逆的，能否说明F存在一个多项式的反函数？
（当然，复数域可以换成任意特征为0的代数闭域）由于这个问题的核心在于讨论雅可比行列式的性质，所以被称为“雅可比猜想”。

令人惊奇的是，在n=2的时候，人们仍然没有任何结果！更何况n>=3了。人们普遍认为在n=2的时候猜想正确，在n>=3的时候不正确。但是至今仍然没有任何证明或反例能够给出。很难相信，在数学如此发达的今天，我们对多项式的理解仍然没有那么深刻。
为什么在二元都这么困难呢？因为在二元的时候，存在反函数的多项式就不是一个简单的线性函数了！一个简单的例子如下：
很容易就能验证，这个函数的雅可比行列式是1，而它的反函数是

看到这个猜想，一个很自然的问题就是：“可否换个条件？”
“代数闭域”的条件是不是多余的呢？很显然，考虑
在R中，它是R到R的双射（由于是单调递增，而且在负无穷趋向负无穷，正无穷趋向正无穷）。它的导数就是
显然是可逆的，但是它的反函数却不是多项式。
特征为p的域会怎么样？仅仅考虑
就能说明问题了。它的导数是1（由于px^(p-1)=0）,也是可逆的，但是它是代数闭域，x^p+x=0有p个不同的根，也不存在反函数。
那如果函数是解析的呢？那么指数函数exp(x)也就是一个反例了。exp(x)的导数不为0，但由于欧拉公式就可以知道，exp是以2*pi*i作为周期，同样也不是单射。
看来这样几个条件就是雅可比猜想最主要的组成部分了！

研究雅克比猜想目前的方法有以下几种：
(1)“稳定方法”，也叫“K-theoretic”方法，由Bass-Connell-Wright提出。这个方法通过研究多项式的次数以及空间的维数来对雅可比猜想进行讨论。
比如对于多项式有以下定理：
(A. Bialynicki-Birula,M. Rosenlicht,1962) F是C^n到C^n的多项式映射，那么F是单射就说明F是满射。
(S.Cynk, K. Rusek 1991) F是C^n到C^n的多项式映射且为双射，那么F的反函数也是多项式映射
这样只需要说明F是一个单射就能证明雅可比猜想了
(S.Cynk, K. Rusek 1991)如果V是特征0的域上仿射代数集，且F：V->V是自同态，那么F就是单自同构。
证明特征0的域上面的雅可比猜想同样也要证明这是单射。

而对于某个多项式来说，我们可以把它分拆成很多多项式的和，且每一个多项式都是有同样的次数（也就是它是一个齐次的），比如
就可以拆成
我们定义一个多项式映射的次数是deg F= max(deg F[i]),其中F[i]是其第i个分量。
在王穗生（Stuart Sui-ShengWang）1980年的文章，就证明了如果degF<=2,那么雅可比猜想成立！而可喜的是，他的证明并不复杂：
若deg(F) <=2,假如F不是单射，即存在a,b使得F(a)=F(b)而a≠b
那么考虑G(z)=F(z+a)-F(a),考虑c=b-a,(这个显然也是deg<=2,也不是单射，而J是常数)即
G(0)=0,G(c)=0(c不为0)
那么就有
.从而
其中G^(1),G^(2)分别为次数为1,2的多项式映射
而G(0)=G(c)=0,就有
所以对于t=1/2,那么
矛盾！

(3)其他一些方法
雅可比猜想有许多其他的等价形式，在此就列举其中一些。这里的符号设定如下:C[x[1]...x[n]]为C上多项式环，C[F[1],...F[n]]为C与F[1],...F[n]构成的多项式的环
1.非分歧性(Unramified)：
C[x[1]...x[n]]在C[F[1],...F[n]]上非分歧
2.平坦性
C[x[1]...x[n]]在C[F[1],...F[n]]上平坦
3.有限维
C[x[1]...x[n]]在C[F[1],...F[n]]上有限维，就是F[1],...F[n]在C上代数无关（不存在多项式P，使得P(F[1]...F[n])=0）
更多情况请见：
http://www.ohio.edu/people/lopez/center/formanek1.pdf

很多数学家宣称已经证明了最后却还是有问题的奇怪的猜想